Summe von sum (1/n*cos(πn/2)-1/n)*sin(πn/2)), n=1 to ∞

Question

Ich muss die folgende Summe ausrechnen und als Ergebnis kommt -π/4.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{\cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)-1}{n}\right)\left(\sin \left(\dfrac{\pi n}{2}\right)\right) \)

Answer 1

hier nochmal zusammengefasst:

Für gerade n werden die Summanden 0, daher setze n=2k+1 und setze ein, es ist

$$ cos((2k+1)\frac{\pi}{2})=0\\sin((2k+1)\frac{\pi}{2})=(-1)^{k} $$

Damit bekommt man

$$ S=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{-1}{2k+1}*(-1)^{k}}\\=-\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{2k+1}*(-1)^{k}}\\ $$

Bei der letzten Reihe handelt es sich um die Leibniz-Reihe, da kommt π/4 als Ergebnis heraus:

https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe

Comments

ok verstehe... aber hab paar fragen:

wieso wird sin(n*PI/2) zu (-1)^n...sollte das nicht 1^n sein?

du hast von 0 bis unendlich summiert, sollte von 1 anfangen... aber ich glaub ist egal oder?

die Leibniz Reihe macht sinn... die kann ich :D

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Erstmal wird 

sin(n*PI/2)

zu

sin((2k+1)*PI/2) , und je nachdem ob das k selber gerade oder ungerade ist kommt +1 oder -1 heraus. Deshalb sin((2k+1)*PI/2) = (-1)^k

k startet bei 0, denn wir haben ja n=2k+1 gesetzt und n startet bei 1, 

1=2k+1 --> k=0