Bestimme den Grenzwert lim_(x-> 1+) ( √(x-1) / √(x^2 - 1))

Question

Bestimme den folgenden Grenzwert. Muss ich hier nicht zuerst den Nenner sowie den Zähler ableiten ?

Comments

3. binomische Formel: 

x^2 - 1 = (x-1)(x+1)       

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also 1 ? Wie kommen sie dadrauf

Answer 1

Hi,

es gilt:

$$\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2-1}} =\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{(x-1) \cdot (x+1)}} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$$

Was kannst du nun folgern?

Comments

...Das der Grenzwert 0 beträgt ?

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Du musst \(\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{1+x}}\) berechnen. Die Funktion ist stetig in 1, weswegen du die 1 einfach einsetzen kannst in die Funktion, d.h. \(\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{1+x}}=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Answer 2

lim_(x-> 1+) ( √(x-1) / √(x^2 - 1)) ,   [ heisst u.a. x>1] 

=  lim_(x-> 1+) ( √(x-1) / √((x - 1)(x+1))

=  lim_(x-> 1+) ( √(x-1) / (√((x - 1)√(x+1))

=  lim_(x-> 1+) ( 1 / (√(x+1))

= 1 / √(1+1) 

= 1/√(2) 

= √2 / 2 

(ohne Gewähr)