Ist n gerade und ana0 < 0, so hat Pn mindestens zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Question

Sei P_n(x) = a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀, n ∈ ℕ, ein Polynom mit reellen Koeffizienten und a_n ≠ 0. Zeigen Sie:

(i) Ist n ungerade, so hat P_n mindestens eine reelle Nullstelle.
(ii) Ist n gerade und a_na₀ < 0, so hat P_n mindestens zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Answer 1

(i) Betrachte die Grenzwerte für x gegen ± ∞. Die sind verschieden, einer ist +∞ und einer  - ∞.

Die zu den Polynomen gehörenden Funktionen haben also sowohl positive als auch negative Werte.

Da sie außerdem stetig auf ℝ sind, haben sie zwischen dem positiven und dem negativen Wert eine

Nullstelle.

(ii) Bei geradem n sind  die Grenzwerte für x gegen ± ∞ gleich. Beide  +∞ oder beide  - ∞ und zwar in

Abhängigkeit vom Vorzeichen von a_n.  Die Bedingung a_na₀ < 0 besagt aber ja, dass die Vorzeichen 

von a_n  und a₀ verschieden sind.   Das Vorzeichen von ao gibt an, ob der y-Achsenabschnitt

positiv oder negativ ist.

Also gibt es zwei Fälle:   ao negativ, also y-Achsenschnittpunkt unterhalb der x-Achse.

Da das VZ von an dann positiv ist, also Grenzwerte für x gegen ± ∞ beide  +∞ .  Damit gibt es 

 eine Stelle a mit a<0 und f(a) >0 als auch eine Stelle b>0 mit f(b) > 0 .  

Wegen des Zwischenwertsatzes gibt es also zwischen a und 0 und auch zwischen 0 und b je eine Nullstelle.

2. Fall entsprechend.