Wie beweise ich das Volumen eines Zylinders? Aufgabenstellung !

Question

Wir haben für heute in Mathe folgende Afgabe bekommen. Das Thema ist polynomdivision. Leider habe ich keinen Plan wie ich bei dieser Aufgabe ansätzen soll.


In einem geraden Kegel mit einem Grundkreisradiums von 10 cm mit einer Höhe von 10 cm soll ein Zylinder mit dem radius r beschrieben werden.

a) Zeige dass der Zylinder das Volumen V(r)=π•(10r³-r²) in cm³ besitzt.
b)Weise nach dass bei einem Radius von 5 cm das Zylindervolumen 3/8 des Kegelvolumens beträgt.
c)Gibt es andere Radien, bei denen das Volumen des Zylinders ebenfalls 3/8 des Kegelvolumens ist?


danke Voraus ;)

Answer 1

Zu a)

Nun, wenn man ein Koordinatenkreuz so in den Kegel "stellt", dass sein Ursprung im Fußpunkt der Kegelhöhe liegt und seine y-Achse in Richtung Kegelspitze zeigt, dann hat die Mantellinie, die von der Spitze des Kegels bis zur x-Achse des Koordinatenkreuzes läuft, bei einem Kegel mit der Höhe 10 cm und dem Radius 10 cm die Steigung - 1 und den y-Achsenabschnitt 10 und folglich die Gleichung:

y = - x + 10

Diese Gleichung gibt die Höhe des Kegels in einer Entfernung von x cm vom Fußpunkt der Höhe an. Die ist auch gleichzeitig die Höhe h des Zylinders mit dem Radius x = r 

Also:

h ( r ) = - r + 10  

Für das Volumen eines Kreiszylinders gilt allgemein: V = π * r ² * h 

Mit h ( r ) = - r + 10 ergibt sich daraus die von seinem Radius r abhängige Volumenformel des einbeschriebenen Zylinders:

V_zyl ( r ) = π * r ² * h ( r )

= π * r ² * ( - r + 10 )

= 10 * π * r ² - π * r ³

= π * ( 10 r ² - r ³ )

Das ist ein Unterschied zu der Behauptung in der von dir wiedergegebenen Aufgabenstellung!
Hast du dich bei den Exponenten vertippt?

 

Zu b)

Das Volumen V_keg eines Kreiskegels ist allgemein:

V_keg = ( 1 / 3 ) * π * r ² * h

Vorliegend ist r = 10 und h = 10, also

V_keg = ( 1000 / 3 ) * π

 

Gezeigt werden soll:

V_zyl ( 5 ) = 3 / 8 * ( 1000 / 3 ) * π = 125 π

Beweis:

V_zyl ( 5 ) = π * ( 10 * 5 ² - 5 ³ ) = π * ( 250 - 125 ) =  π 125

q.e.d.

 

Zu c)

Gesucht werden Radien r, für die gilt:

V_zyl ( r ) = 125 π

<=> π * ( 10 r ² - r ³ ) = 125 π

<=> 10 r ² - r ³ = 125

<=> r ³ - 10 r ² + 125 = 0

Eine Nullstelle dieser Gleichung ist aus Teil b) bekannt: r = 5

Also Polynomdivision:

(  r ³ - 10 r ² + 125 ) : ( r - 5 ) = r ² - 5 r - 25

Die weiteren Nullstellen findet man, indem man

r ² - 5 r - 25 = 0

nach r auflöst. Ergebnis:

r1 = - 3,09 (gerundet)

r2 = 8,09 (gerundet)

Das negative Ergebnis ist im Aufgabenzusammenhang sinnlos, also gibt es nur noch einen weiteren Radius, bei dem Das Volumen des entsprechenden Zylinders gleich 3 / 8 des Kegelvolumens ist, nämlich:

r = 8,09 cm