Der Oberflächeninhalt Oges des gezeigten Körpers setzt sich zusammen aus:
- dem Mantelflächeninhalt MK des Kegels,
- dem Mantelflächeninhalt MZ des Zylinders und
- dem Flächeninhalt MGZ des Grundflächenkreises des Zylinders,
Der Oberflächeninhalt Oges soll 344 cm 2 betragen, also:
Oges = MK+ MZ + MGZ = 344 cm ²
Es gilt:
MK = π * r * s
MZ = 2 * π * r * hZ
MGZ = π * r 2
wobei
r die Länge des Radius des Grundflächenkreises sowohl des Kegels als auch des Zylinders,
s die Länge der Mantellinie (Strecke von der Spitze des Kegels bis zum Rand seiner Grundfläche) und
hZ die Höhe des Zylinders
ist.
Also:
Oges = π * r * s + 2 * π * r * hZ + π * r 2 = 344 cm ²
Auflösen nach der gesuchten Höhe hZ des Zylinders ergibt:
hZ = ( 344 - π * r * s - π * r 2 ) / ( 2 * π * r )
Zur Berechnung müssen nun noch der Radius r und die Mantellinienlänge s bestimmt werden. Dazu kann man die übrigen Angaben in der Aufgabenstellung benutzen:
Radius:
Das Volumen VK eines Kegels ist:
VK = ( 1 / 3 ) * G * hK = ( 1 / 3 ) * π * r 2 * hK
Auflösen nach dem Radius r ergibt:
r = √ ( 3 * VK / ( π * hK ) )
Gegeben sind: VK = 233 cm3 sowie hK = 8,5 cm , also:
r = √ ( 3 * 233 / ( π * 8,5 ) ) = 5,1 cm (gerundet)
Mantellinie:
Die Mantellinie s ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten der Radius r und die Höhe hK des Kegels sind. Daher gilt nach Pythagoras:
s2 = r 2 + hk2
<=> s = √ ( r 2 + hK2 )
Bekannte Werte einsetzen:
s = √ ( 5,1 2 + 8,5 2 ) = 9,9 cm (gerundet)
Damit kann man nun die oben fett gesetzte Bestimmungsgleichung für die Höhe hZ des Zylinders ausrechnen:
hZ = ( 344 - π * r * s - π * r 2 ) / ( 2 * π * r )
= ( 344 - π * 5,1 * 9,9 - π * 5,1 2 ) / ( 2 * π * 5,1 )
= 3,24 cm (gerundet)
