Scheitelpunkt S(1|-1) und Punkt P(3|-3) auf Parabel. Parabelgleichung durch ableiten oder aufleiten bestimmen, wie?

Question

Hallo ich hatte heute Nachhilfe und mein Nachhilfelehrer hat gesagt, dass man die Parabelgleichung auch durch Ableiten oder Aufleiten bestimmen kann, aber der das mir nicht erklären wird, weil ich das sowieso auf einer anderen Art und Weise bestimme.....ich will es aber gerne wissen :D Würdet ihr mir das bitte erklären?

S(1|-1) P(3|-3)
Grüße

Comments

Da der Scheitelpunkt bei x=1 und y=-1 liegt, muss die Ableitung an der Stelle x= 1 und nicht x=-1 gleich 0 sein. Daher verändert sich die dritte Gleichung etwas: 0 = 2a +b.

Der Rest ist korrekt und eigentlich auch verständlich, daher könntest du vielleicht genauer sagen, wo dein Problem steckt.

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Hi HGF, 

ich verstehe das hier nicht:

" Ich leite die Funktionsgleichung ab:
y' = 2ax + b
Nun Null für y' und -1 für x einsetzen."

Woher weiß er, dass es 2ax +b ist? 

Das ist doch eine Gerade, oder? und eine Geradengleichung ist doch: y=m*x+b und wieso hat er da
2ax?

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Das ist die Ableitung der Parabel, die am Anfang allgemein aufgestellt wurde.

ax^2 abgeleitet ergibt 2ax

bx abgeleitet ergibt b

c abgeleitet ergibt 0

Die Ableitung gibt den Anstieg der Tangente in jeder beliebigen Stelle x der Funktion an.

Um also die Bedingung verarbeiten zu können, dass die Tangente im Scheitelpunkt den Anstieg 0 haben muss, muss man die Ableitung an Stelle des Scheitelpunktes Null setzen.

Es wird also nicht eine beliebige Gerade aufgestellt sondern nur der Anstieg der Tangente an der Stelle 0 ermittelt, um ihn 0 zu setzen.

Ist das irgendwie klarer geworden?

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Ja jetzt schon einbisschen...aber ich habe immer noch schwierigkeiten .... ist das dann immer so? Oder was das jetzt hier bei dieser Aufgaben nur so? Und wie wäre es denn dann bei einem anderen Scheitelpunkt und einem anderen Punkt? :)

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Ja, die Vorgehensweise bei dieser Art Aufgabe ist immer dieselbe. Man stellt die Parabelgleichung allgemein auf. Das ist immer ax^2 + bx +c , setzt dann in diese allgemeine Gleichung die bekannten Punkte mit x und y ein. Dadurch erhält man Gleichungen, in denen a,b, und c unbekannt sind. Danach muss man eben die Ableitung bilden, die auch immer gleich ist, also 2ax +b. In diese musst du nun die x-Koordinate des Scheitelpunktes einsetzen, egal wo der ist und sie 0 setzen.

Damit erhältst du 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten a,b und c. Dieses Gleichungssystem musst du dann lösen.

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Und was ist mt Ableitung und Aufleitung? (Das was du geschrieben hast, hat mior SEHR geholfen!)

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Die Ableitung ermöglicht dir das Einarbeiten der Information, dass an einer bestimmten Stelle x der Anstieg 0 (bei manchen Aufgaben ist er auch anders) ist.

Das Wort Aufleitung ist eher umgangssprachlich. Es heißt Stammfunktion. Diese würde dir ermöglichen, Informationen über Flächen zwischen Funktion und x-Achse zu verarbeiten. Das habe ich aber noch nie gesehen und ist auch in der Praxis nicht gerade oft anzutreffen. Meist weiß man, wie etwas ist und wie sich etwas verändert, also Funktionswert und Anstieg. Aus diesen Informationen will man eben eine Funktion generieren, die den Vorgang beschreibt.

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Ok danke auch für diesen Kommentar! :)
Kannst du mir noch sagen, welche Funktionsgleichung er jetzt hier bei dieser Aufgabe ableitet???? und wie er es macht??? Eigentlich  weiß ich ja wie das geht, aber ich weiß nicht welche Funktion der ableitet? :(

Ich hoffe ich nerve dich nicht mit meinen Fragen?

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Die Funktion ist die allgemeine Parabel, also f(x) = ax^2 + bx +c.

Wie die abgeleitet wird, habe ich oben beschrieben.

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Ok alles klar :) Vielen vielen dank für deine Hilfe! :)

Grüße

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Ah eine Frage hätte ich noch. Wie kommt man hier auf: 
 

S(1|-1) P(3|-3)

Ansatz für die Parabelgleichung

y = ax² + bx + c

Hier hast du 3 Unbekannte. Daher brauchst du 3 Gleichungen.

Die beiden Punkte einsetzen

-1 = a + b + c

-3 = 9a - 3b + c

Also auf 9a -3b? und dann bei c nichts????

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Das ist genau gleich, wie du es bei Geradengleichungen schon gesehen hast.

Sagen wir
y=mx+b
Wenn die Gerade durch den Punkt P(3,2) gehen soll, setzt du 3 für x und 2 für y ein:

2 = m*3 + b
Auch hier kommt bei b nichts dazu.

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Ahso und bei den Quadratischen Funktionen ist das halt so: S(1|-1) P(3|-3)

-1 = a + b + c

Ahsooo verstehe.... du setzt -3 ein weil das der y-Wert ist und dann bei ax² setzr du den x-Wert also 3 -> 3a² = 9a und dann -bx -> -3b + c

ok und bei der ersten Gleichung -1 = a + b + c 

Wieso hast du da keine Zahlen bei den a und b eingesetzt? Weil da alles um quadrat 1 ergibt und die 1 schreiben ja die Mathematiker nicht auf :)

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Weil da alles um quadrat 1 ergibt und die 1 schreiben ja die Mathematiker nicht auf :) 

Richtig!

Answer 1

S(1|-1) P(3|-3)

Ansatz für die Parabelgleichung

y = ax^2 + bx + c

Hier hast du 3 Unbekannte. Daher brauchst du 3 Gleichungen.

Die beiden Punkte einsetzen

-1 = a + b + c

-3 = 9a - 3b + c

Sind mal 2 Gleichungen.

Nun weisst du, dass die Parabel im Scheitelpunkt eine Tangente hat mit Steigung 0. Sogenannt: Horizontale Tangente.

Daher ist die Ableitung an der Stelle x = 1 Null.

Ich leite die Funktionsgleichung ab:

y' = 2ax + b

Nun Null für y' und 1 für x einsetzen.

0 = 2a + b

Ich hoffe, das ist bis hierhin einigermassen verständlich.

Jetzt musst du aus diesen 3 Gleichungen die 3 Unbekannten bestimmen. Probier das mal selbst.

Comments

Hi Lu :)

Ich würde die drei Gleichungen mit dem Additionsverfahren, also Elimierungsverfahren oder wie man das auch nennt  lösen. Aber diesen Teil hier verstehe ich nicht:

"Nun weisst du, dass die Parabel im Scheitelpunkt eine Tangente hat mit Steigung 0. Sogenannt: Horizontale Tangente.

Daher ist die Ableitung an der Stelle x = -1 Null.

Ich leite die Funktionsgleichung ab:

y' = 2ax + b

Nun Null für y' und -1 für x einsetzen.

0 = -2a + b"

Also woher weißt du, dass da eine Tangente ist mit einer Steigung von 0? Und woher weiß man, dass es die Steigung 0 hat? Ist das IMMER so? :) Und die Ableitung verstehe ich auch nicht. Also ich weiß schon eigentlich wie man Auf und Ableitet, aber hier verstehe ich das nicht mehr....

Ich hoffe ich nerve dich nicht mit meinen Fragen :)

Grüße 

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Hi Emre,

bin gerade weg. Schaue vielleicht später/morgen nochmals rein. Gruss Lu

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Vorzeichenfehler oben inzwischen korrigiert. Hast du denn inzwischen a,b und c ausgerechnet?

Tangenten solltest du am Kreis kennen. Dort stehen sie immer senkrecht auf dem Radius. Im Scheitelpunkt einer Parabel kannst du dir einen Kreis vorstellen, der die Biegung der Parabel vorgibt. Eine Tangente daran liegt horizontal (waagrecht) im Koordinatensystem.

Hier mal noch die Skizze mit der horizontalen Tangente y=-1 und der Parabel mit der Gleichung 

y = -1/2 (x-1)^2 - 1

= -1/2(x^2 - 2x + 1) - 1 

=-1/2x^2 + x - 1/2 - 1

= -1/2x^2 + x - 3/2

D.h. es sollte rausgekommen sein: a=-1/2, b=1 und c=-3/2