Gleichung der Parabel durch Scheitelpunkt und einen anderen Punkt bestimmen

Question

Von einer Parabel ist der Scheitel (1|-1) bekannt. Außerdem liegt der Punkt (3|-3) auf der Parabel
a) Gibt die Gleichung der Parabel an
b) Was lässt sich anhand der Parabelgleichung ohne weitere Rechnung über die Parabel sagen?
Brauche hilfeeeeeeeeeee

Answer 1

Scheitelpunktform

f ( x ) = a * ( x - xs ) ² + ys

ansetzen, wobei xs bzw. ys die Koordinaten des Scheitelpunktes sind:

f ( x ) = a * ( x - 1 ) ² + ( - 1 )

Nun noch den Parameter a bestimmen. Das geht durch Einsetzen der Koordinaten des zweiten Punktes in die bisher erhaltene Funktionsgleichung:

- 3 = a * ( 3 - 1 ) ² - 1

und Auflösen nach a:

<=> - 2 = a * 4

<=> a = - 2 / 4 = - 1 / 2 

Die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform lautet also:

f ( x ) = ( - 1 / 2 )  * ( x - 1 ) ² - 1 

Durch Ausmultiplizieren erhält man die Normalform:

f ( x ) = ( - 1 / 2 ) * ( x ² - 2 x + 1 ) - 1

= ( - 1 / 2 ) x ² + x - ( 1 / 2 ) - 1

= ( - 1 / 2 ) x ² + x - ( 3 / 2 )

 

Aus der Gleichung lässt sich ablesen, dass sie nach unten geöffnet sein muss,
da der Streckfaktor a = - 1 / 2 negativ ist.

Man kann außerdem sofort sehen, an welcher Stelle die Parabel die y-Achse schneidet,
nämlich an dem absoluten Glied der Gleichung (die Zahl ohne x ) , also an der Stelle y = - 3 / 2 .