Parabelgleichung durch Aufleiten und Ableiten bestimmen. Parabel geht durch Punkte: A(4|6) B(6|2)

Question

Ich hatte eine änhliche Frage schon gestern gestellt. Ich habe sie schon verstanden, also die Antworten...aber ich bin mir immer noch nicht so sicher. Wie wäre es denn mit anderen Punkten zum Beispiel?

Eine Parabel geht durch die Punkte: A(4|6) B(6|2)

Ich habe die anderen Rechenschritte verstanden, aber nur halt mit den 3 Gleichungen und 3 Unbekannte nicht so. Also wie soll es dann daraus eine komplette Funktionsgleichung kommen?

Könnt ihr mir bitte alles vorrechnen und dann noch erklären?

Das mit auf und ableiten habe ich verstanden.

Comments

Durch nur zwei Punkte ist eine Parabel nicht eindeutig definiert. Man braucht noch eine weitere Information, z.B. einen dritten Punkt, oder die Information, dass einer der beiden Punkte der Scheitelpunkt ist oder dass die Parabel eine verschobene Normalparabel ist ...

Answer 1

Hallo Emre,

 

Gleichung der Normalparabel allgemein (sonst siehe Kommentar von JotEs):

x² + bx + c

Wir setzen die gegebenen Punkte ein:

A(4|6)

4² + 4b + c = 6 | Also 4b + c = 6 - 16 | 4b + c = - 10

B(6|2)

6² + 6b + c = 2 | Also 6b + c = 2 - 36| 6b + c = -34

 

Wir können die 1. Gleichung von der 2. Gleichung subtrahieren und erhalten

6b + c = -34

4b + c = -10

2b = -24

b = -12

Das können wir jetzt wieder in die 1. Gleichung einsetzen und erhalten so auch c

4 * (-12) + c = -10

-48 + c = -10

c = 38

 

Die gesuchte Parabel lautet also

f(x) = x² - 12x + 38

 

Besten Gruß

Comments

Hallo danke Brucybabe :) Das mit der normal Parabel und mit der Rechnung/Formel habe ich ja verstanden, aber ich hatte gestern Nachhilfe und mein Nachhilfelehrer meinte, dass man die Funktionsgleichung auch durch auf oder ableiten bestimmen kann, also so würde er das machen ^^
Und ich wollte mal wissen, wie es mit auf und ableiten gehen würde? Könntest du mir noch mit auf und ableiten erklären? Wenn du willst :)

Aber sonst: Wieder eine Super hilfreiche Antwort! :)

Grüße

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Hi Emre, wie immer: Gern geschehen :-)

 

Wie so eine Aufgabe mit Auf- und Ableiten zu lösen sein soll, ist mir offen gestanden schleierhaft - vielleicht fragst Du noch einmal nach. Er möge eine Aufgabe wie diese mit seinem Verfahren lösen; das kannst Du ja dann hier mal vorstellen, vielleicht lerne ich dazu :-)

 

Wenn ich die allgemeine Form der Normalparabel

f(x) = x² + bx + c

 

ableite (Du weißt: Faktor mit Exponenten von x multiplizieren und dann den Exponenten um 1 verringern), erhalte ich

f'(x) = 2 * x + b

 

Und wenn ich sie aufleite (Exponenten von x um 1 erhöhen und Faktor durch diesen neuen Exponenten dividieren):

F(x) = 1/3 * x³ + 1/2 * b * x² + cx

 

Mehr kann ich Dir dazu im Moment leider auch nicht sagen.

 

Lieben Gruß

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Hi nochmal :) 

Ja, ich kann ihn ja fragen und dann fotografiere ich das und poste es hier hin :)

Lu hatte gestern eine ähnliche Aufgabe mit der Ableitung (Integration) gemacht: 
 

S(1|-1) P(3|-3)

Ansatz für die Parabelgleichung

y = ax² + bx + c

Hier hast du 3 Unbekannte. Daher brauchst du 3 Gleichungen.

Die beiden Punkte einsetzen

-1 = a + b + c

-3 = 9a - 3b + c

Sind mal 2 Gleichungen.

Nun weisst du, dass die Parabel im Scheitelpunkt eine Tangente hat mit Steigung 0. Sogenannt: Horizontale Tangente.

Daher ist die Ableitung an der Stelle x = 1 Null.

Ich leite die Funktionsgleichung ab:

y' = 2ax + b

Nun Null für y' und 1 für x einsetzen.

0 = 2a + b

Ich hoffe, das ist bis hierhin einigermassen verständlich.

Jetzt musst du aus diesen 3 Gleichungen die 3 Unbekannten bestimmen. Probier das mal selbst.


Grüße  :-) 

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Hi Emre,

 

ja, die Lösung von Lu ist nachvollziehbar.

Der Unterschied zu der von mir beantworteten Aufgabe ist aber folgender:

 

Ich war bei der Aufgabe davon ausgegangen, dass es sich bei der gesuchten Parabel um eine verschobene Normalparabel handelt, also f(x) = x² + bx + c, so dass ich nur die beiden Unbekannten b und c berechnen musste - und dafür reichen 2 Gleichungen, die sich durch die gegebenen 2 Punkte aufstellen lassen.

 

In der von Lu bearbeiteten Aufgabe konnte es sich aber um jede beliebige Parabel handeln mit der allgemeinen Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c, so dass man dann 3 Informationen für die 3 Unbekannten a, b und c braucht (siehe auch Kommentar von JotEs ganz oben). Und diese 3 Informationen wurden in dieser Aufgabe geliefert durch die Angabe der beiden Punkte S(1|-1) und P(3|-3) sowie die Angabe, dass der Punkt S ein Scheitelpunkt ist, dass also die Ableitung an dieser Stelle = 0 ist.

 

Wenn man allerdings nur Punkte gegeben hat und keine weiteren Informationen, ob es sich um Scheitelpunkte, um Maxima oder Minima, um Wendepunkte oder ähnliches handelt, dann muss man diese lediglich in die Funktionsgleichung einsetzen und so verfahren, wie ich es gemacht habe. Ableitungen und Aufleitungen sind dann nicht nötig oder sinnvoll.

 

Siehst Du auch den Unterschied?

 

Lieben Gruß

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Hi nochmal :)

Ja, ich sehe auch den Unterschied :) Ich habe auch Rechnung von Lu verstanden gehabt :) Und deine hatte ich schon gewusst, weil du sie mir ja schon oft erklärt hattest :)
Danke auch für die Erklärung!! :)

Grüße :)

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wär super. bin so dankbar das ich endlich so eine tolle plattform zum wissensaustausch gefunden hab...

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klingen schwieriger als sie sind;-) sagt zumindest lu;-) ich seh das so wie du aber die probleme hab ich ja mittlerweile eher beim auflösen der formeln etc das andere haben die ja schon hingeschrieben...hab bei denen kommentiert wo noch fragen offen sind.. wie kommst du auf das ergebnis etc ,, wie lautet dieser schritt... im  grunde ist das mit der schwerpunktberechnung in der parabel nichts anderes als ein integral und eine zusätzliche formel... ich bin halt schlecht was das finden von versteckten sachen angeht und ünbersehe einiges . dadurch lande ich oft in sackgassen .... bin quasi ein mathe eunuch... ich weiß theoretisch wie...;-)