Parabelgleichung 3. Ordnung gesucht, Wendepunkt auf der y-Achse und Kurvennormale schneidet Parabel bei (1/0) und (3/4)

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine Parabel 3. Ordnung (y = ax³ + bx² + cx + d). Der Wendepunkt ist auf der y-Achse (y-Wert unbekannt). Gegeben sind ausserdem die Kurvennormale, die in P(1/0) und Q(3/4) die Parabel noch einmal schneidet.

Problem/Ansatz:

Bisher habe nur 2 Gleichungen:

1. in Punkt (1/0)

0 = a(1)³ + b(1)² + c(1) + d → 0 = a + b + c + d

2. in Punkt (3/4)

4 = a(3)³ + b(3)² + c(3) + d → 4 = 27a + 9b + 3c + d

Answer 1

Gesucht ist eine Parabel 3. Ordnung (y = ax^3 + bx^2 + c^x + d). Der Wendepunkt ist auf der y-Achse (y-Wert unbekannt). Gegeben sind ausserdem die Kurvennormale, die in P(1/0) und Q(3/4) die Parabel noch einmal schneidet.

f(x) = ax^3 + bx^2 + c^x + d
f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f´´ (x) = 6ax + 2b

f ´´( 0 ) = 0  Krümmung Wendepunkt auf der y-Achse
f ( 1 ) = 0
f ( 3 ) = 4

--------------------------------

Steigung in Punkt P
f ´( 1 )
Steigung in Punkt Q
f ´( 3 )

Beide Steigungen sind gleich
f ´( 1 ) = f ´ ( 3 )
3a*1^2 + 2b*1 + c = 3a*3^2 + 2b*3 + c
3a + 2b + c = 27a + 6b + c
- 4b = 24a

damit dürftest du 4 Angaben haben.

Es ist schon spät. Gute Nacht.

Comments

Obige Antwort stimmt nicht ganz

Steigung in Punkt P
f ´( 1 )
Steigung in Punkt Q
f ´( 3 )

Beide Steigungen sind gleich
Die Steigungen der Normalen sind gleich

- 1 / f ´( 1 ) = -1 / f ´ ( 3 )

Jetzt müßtest du einmal schauen ob
sich was ändert.

Nochmals gute Nacht.

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Gegeben sind ausserdem die Kurvennormale, die in P(1/0) und Q(3/4) die Parabel noch einmal schneidet.

Die Kurvennormale sind nicht gegeben.

Stimmt dein Fragetext ?

Stell den Originalfragetext einmal ein.

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Die Kurvennormale sind nicht gegeben.

Doch! die Kurvennormale ist die Gerade, die durch \(P\) und \(Q\) verläuft. Und somit ist sie auch gegeben!

Stell den Originalfragetext einmal ein.

IMHO ist dies der Originalfragetext ;-)

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die Steigung der Normalen wäre dann
m = ( 4 - 0 ) / ( 3-1 ) = 2
Tangentensteigung
-1 / 2
f ´( 1 ) = -1/2
f ´ ( 3 ) = -1/2

Ich hatte damit schon einmal gerechnet,
hat aber kein vernünftiges Ergebnis
bekommen

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Tangentensteigung -1 / 2

... ist richtig. Nur nicht bei 1 oder 3 sondern bei -4 (s. meine Antwort)

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Ich habe mir deine recht umfangreiche
Begründung für f ´( -4 ) = -1/2
angesehen. Unglücklichsterweise habe
ich sie nicht verstanden.

Gibt es auch eine einfachere Begründung ?

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einfachere Begründung ?

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2+2bx+c
f"(x) = 6ax+2b

f"(0) = 0  ⇒  b=0

f(1) = 0 , f(3) = 4  ⇒  c = 2-13a , d = 12a-2

n(x) = 2x - 2
⇒  ax^3 + (2-13a)x + 12a-2  =  2x - 2   ⇒   ax^3 - 13ax + 12a =  0
(wegen a≠0) ⇒  x^3 - 13x +12 = 0. Die beiden Lösungen 1 und 3 sind bekannt, Polynomdivision liefert die dritte Lösung x = -4

Aus f'(-4) = -1/n'(-4)  ergibt sich 3a*(-4)^2 + (2-13a) = -1/2  ⇒  a = -1/14  und der Rest.

Answer 2

Hallo

1. der Wendepunkt auf y Achse heisst f''(0)=0

2. von wo soll das die Normale sein? in P oder Q?

wenn in P normal dann ist m= -1/f'(1) die Steigung und diese Steigung ist auch durch m= (4-0)/(3-1)  gegeben

Gruß lul

Comments

Hi

Die Normale soll scheinbar durch beide Punkte gehen. Und wie kann ich dann mit der Steigung die Parabelgleichung aufstellen?

Mfg

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ich denke die Normale  kann höchstens in einem der Punkte normal sein, ich nehme an in P

lul

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Ich denke die Angelegenheit sieht so
aus ( Symbolische Skizze )

Ich rechne die Aufgabe nachher einmal
aus.

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ich denke die Normale kann höchstens in einem der Punkte normal sein, ich nehme an in P

... oder in einem dritten Punkt!

Answer 3

Gesucht ist eine Parabel 3. Ordnung (y = ax^3 + bx^2 + cx + d). Der Wendepunkt ist auf der y-Achse (y-Wert unbekannt). Gegeben sind ausserdem die Kurvennormale (im Wendepunkt), die in P(1/0) und Q(3/4) die Parabel noch einmal schneidet.

f(1) = 0

f(3) = 4

f''(0) = 0

f'(0) = -1 / ((4-0)/(3-1)) = -1/2

Die letzten beiden Bedingungen sind die, die dir noch fehlen.

Comments

Ich habe nochmal drüber nachgedacht: Die Kurvennormale kann ihren dritten Schnittpunkt nicht im Wendepunkt haben, meine vierte Bedingung muss also ersetzt werden.

Etwa so:

f(u)=2*(u-3)+4

2*f'(u)=-1

mit einer zusätzlichen Variablen u sowie zwei neuen Bedingungen. Unter der Beachtung des Hinweises "noch einmal" ergibt sich damit die eindeutige Lösung

a = -1/14, b = 0, c = 41/14, d = -20/7, u = -4.

Answer 4

Hallo,

das ist ja mal eine schöne Steckbriefaufgabe ;-)

Drei Dinge sind ziemlich offensichtlich. Der Wendepunkt liegt auf der Y-Achse und die Kurve geht durch die Punkte \(P(1,0)\) und \(Q(3,4)\). Das mit der Kurvennormalen ist ungewöhnlich. Daher lasse ich das zunächst mal weg!

Allgemein gilt für die kubische Funktion \(y(x)\):$$y=ax^3+bx^2+cx+d \\y'(x)=3ax^2+2bx+c \\ y''(x)=6ax+2b$$Wenn der Wendepunkt sich auf der Y-achse befindet muss seine x-Koordinate \(x_w=0\) sein. Im Wendepunkt ist \(y''(x_w)=0\). Daraus folgt:$$y''(x_w=0) = 6ax_w+2b=0 \implies b=0$$Das vereinfacht unsere Funktion zu$$y(x)=ax^3+cx+d$$Einsetzen der beiden Punkte \(P\) und \(Q\) gibt$$y(1)=0 \implies a+c+d=0 \\ y(3)=4 \implies 27a+3c+d = 4 $$Zieht man die obere von der unteren Gleichung ab, so erhält man$$26a +2c=4 \\ \implies c = 2-13a$$und der Parameter \(d\) folgt aus der ersten Gleichung$$d = -a-c = -a-(2-13a) = 12a-2$$Wenn man nun gar keine Idee hat, wie es weiter geht, könnte man ja für \(a\) ein paar Werte annehmen und die Kurve zeichnen und schauen was da passiert:

ich habe das mal in desmos gegossen. Dort kann man das \(d\) einstellen (das war gefälliger als \(a\)!), indem man den Wendepunkt \(W\) mit der Maus auf der Y-Achse verschiebt. Probiere es aus! Und verschiebe \(W\) so nach ca. \(W.y\approx -2,84\) ;-)

Die lilane Gerade ist die besagte Kurvennormale, die durch die Punkte \(P\) und \(Q\) verläuft. Sie durchläuft auch einen dritten Punkt \(S\). Und dieser ist völlig unabhängig \(S=(-4,\,10)\) von der Wahl des Wertes von \(d\)!

Gegeben sind ausserdem die Kurvennormale (in einem Punkt S), die in P(1/0) und Q(3/4) die Parabel noch einmal schneidet.

Jetzt wird die Aufgabenstellung auch klarer! Die Gleichung der Kurvennormalen \(n\) durch \(P\) und \(Q\) ist $$n(x)=2x-2$$(falls Du nicht weißt, wie man drauf kommt, bitte nachfragen)

Die Normale \(n\) hat die Steigung \(2\). Die Tangente (grün im Bild oben) im Punkt \(S\) muss daher die Steigung \(m=-1/2\) haben (Klar wieso? Sonst bitte nachfragen!). D.h. die vierte Bedingung ist $$y'(-4)= -\frac12$$Daraus folgt$$y'(-4) = 3a(-4)^2 + c = -\frac 12 $$Einsetzen von \(c\) (s.o.) gibt dann$$\begin{aligned}3a(-4)^2 + 2-13a &= -\frac 12 \\48a-13a+2 &= -\frac12 \\ 35a &= -\frac52 \\ a &= -\frac1{14} \end{aligned}$$und daraus folgt$$c= 2-13a = 2+\frac{13}{14} =\frac{41}{14} \\ d= 12a-2 = -\frac{12}{14}-2=-\frac{20}{7}$$

~plot~ 2x-2;-1/14x^3+41/14x-20/7;-(x+4)/2-10;{1|0};{3|4};[[-16|15|-13|8]];{-4|-10} ~plot~

wie man rechnerisch zum Punkt \(S\) kommt, steht im Kommentar von Gast_hj2166 unter der Antwort von georgborn.

Gruß Werner

Answer 5

"Gesucht ist eine Parabel 3. Ordnung (y = a\( x^{3} \) + b\( x^{2} \) + cx + d). Der Wendepunkt ist auf der y-Achse (y-Wert unbekannt). Gegeben sind außerdem die Kurvennormale, die in P(1|0) und Q(3|4) die Parabel noch einmal schneidet."

Weg über die Nullstellenform der kubischen Parabel:

f(x)=a*(x-1)*(x-N₁)*(x-N₂)

f(3)=a*(3-1)*(3-N₁)*(3-N₂)

2a*(3-N₁)*(3-N₂)=4   →  a*(3-N₁)*(3-N₂)=2 → a=\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)

f(x)=\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[(x-1)*(x-N₁)*(x-N₂)]

f´(x)=\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[(x-N₁)*(x-N₂)+(x-1)*(x-N₂)+(x-1)*(x-N₁)]

Steigung der Geraden (Kurvennormale) durch P(1|0) und Q(3|4):

m₁=\( \frac{4-0}{3-1} \)=2

Steigung der Tangente durch P(1|0) ist m=-0,5

f´(1)=\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[(1-N₁)*(1-N₂)+(1-1)*(1-N₂)+(1-1)*(1-N₁)]

\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[(1-N₁)*(1-N₂)]=-0,5

f´(x)=\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[(x-N₁)*(x-N₂)+(x-1)*(x-N₂)+(x-1)*(x-N₁)]

f´´(x)=\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[(x-N₂)+(x-N₁) +(x-N₂) +(x-1) +(x-N₁)+(x-1)]

"Wendepunkt auf y-Achse: f´´(0)=\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[(0-N₂)+(0-N₁) +(0-N₂) +(0-1) +(0-N₁)+(0-1)]

f´´(0)=\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[-2N₂-2N₁ -2]

f´´(0)=\( \frac{1}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[-N₂-N₁ -1]

\( \frac{1}{(3-N₁)*(3-N₂)} \)*[-N₂-N₁ -1]=0 → -N₂-N₁ -1=0 → N₂=-N₁ -1

\( \frac{2}{(3-N₁)*(3-(-N₁ -1))} \)*[(1-N₁)*(1-(-N₁ -1))]=-0,5

\( \frac{2}{(3-N₁)*(4+N₁ ))} \)*[(1-N₁)*(2+N₁ ))]=-0,5

1.)N₁≈-2,56   2.) N₁≈1,56

1.)N₂≈1,56     2.)N₂=-2,56

a=\( \frac{2}{(3+2,56)*(3-1,56)} \)=\( \frac{2}{(5,56)*(1,44)} \)≈0,25

f(x)=0,25*(x-1)*(x+2,56)*(x-1,56)

Comments

Steigung der Tangente durch P(1|0) ist m=-0,5

dann hätte die Aufgabenstellung aber heißen müssen:

Gegeben sind ausserdem die Kurvennormale in P(1/0), die die Parabel noch einmal in Q(3/4) schneidet.

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Tangente theorie
f ´ ( 1 ) = -1/2
f ´ ( 3 ) = -1/2

du hast
f ´ ( 1 ) =  - 1/2
f ´ ( 3 ) = 5.5

Ich hege also Zweifel an deinen
Lösungen

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(1|0) ist wegen "noch einmal" sicher nicht der dritte Schnittpunkt.