Orthogonale Matrix A. Beweisen, dass z.B. A^{-1} = A^T , dass A^T orthogonal ist usw.

Question

Ich habe schwierigkeiten, wie ich die folgenden Fragen beweisen soll und wäre dankbar wenn jemand mir dabei hilft.

Es sei A ∈ R n×n. Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
(a) A ist orthogonal.
(b) A ist invertierbar und es gilt A hoch −1 = A hoch T.
(c) Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis.
(d) A ist invertierbar und A hoch −1 ist orthogonal.
(e) A hoch T ist orthogonal.

Comments

Wie habt ihr "orthogonal" definiert? 

Habt ihr zur Definition schon irgendwelche Sätze bewiesen? 

Tipp: Lies schon mal: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

---

Ja haben wir und zwar : Eine Matrix A ∈ R n×n heißt orthogonal, falls die Spalten von A eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarproduktes bilden.

---

ok also bei a) kann man sagen : Q^ T * Q = E , wobei E hier der Einheitsmatrix ist.

und bei b) : Q^T  * Q = Q^ -1 * Q = E

richtig ?

---

Eine Matrix A ∈ R n×n heißt orthogonal, falls die Spalten von A eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarproduktes bilden.

Daraus kannst du direkt herleiten, dass 

A^T * A = E  (Einheitsmatrix) 

Was recht schnell zu (b) führt. 

Answer 1

Vermutlich habt ihr schon gezeigt:

(A^-1)^-1 = A   (A ^T) ^T = A   und  (A^T)^-1 = (A^-1)T  

(a) ==>  A^T*A=E

Also ist A^T invertierbar und hat die Inverse A.  Wegen (A^-1)^-1 = A ist also auch A invertierbar

und hat die Inverse A^T.     Also gilt (b).    A^-1 = A^T .

==>   (A^-1 )^T= (A^T )^T und wegen (A^T) ^T = A also (A^-1 )^T = A

==>   (A^-1 )^T * A^-1 = E    also gilt (d) .

Das wird von rechts mit A multipliziert und gibt 

(A^-1 )^T * A^-1 * A = E  * A 

==>  (A^-1 )^T    =  A   

==>  (A^T)^-1    =  A   

==>  (A^T)^-1 * A^T = A * A^T 

==>    E = A * A^T 

==>    E = (A^T)^T * A^T   Damit gilt (d) und durch erneutes Transponieren beider Seiten

E^T = (  (A^T)^T * A^T ) ^T

E = ( A * A ^T ) ^T  =  A^T * A^{T T} =  A^T* A  also wieder (a) .

Damit sind a,b,d , e äquivalent.

Und (e) besagt ja : Wenn man eine Zeile von (A^T)^T mit einer Spalte von A^T multipliziert 

gibt es 1, wenn Zeile und Spalte den gleichen Index haben und sonst 0.

Da die Zeilen von (A^T)^T die Zeilen von A und die Spalten  von A^T auch die Zeilen von A sind, heißt das

gleiche Zeilen  von A haben das Skalarprodukt 1 verschiedene 0.

Das ist die Definition einer Orthonormalbasis.

Umgekehrt entsprechend. 

Comments

Vielen Dank ihr beiden, habt es jetzt verstanden einigermaßen. Aber kannst du mir Mathef nochmal e) erklären und bei c) wie sieht es dann aus ?

---

zu e)  A^T ist orthogonal heißt ja   ( A^T)^T * A^T = E

                             also kurz        A * A^T = E

wenn du beide Seiten transponierst hast du

                              ( A * A^T ) ^T= E^T

nun ist aber E^T = E  und links wendest du die Regel (AB)^T = B^T*A^T an, gibt

                                   A^T * A = E   und das ist die gleiche Bedingung wie in a) .

Bei c) heißt das doch:

zwei verschiedene Zeilen haben das Skalarprodukt 0 und zwei gleiche 

das Skalarprodukt 1.

Das ist quasi die gleiche Aussage wie (e).