Für welche a ist die folgende matrix orthogonal?

Question

Aufgabe: 3x3 matrix. erste geschweifte klammer erste Zeile, zweite klammer zweite Zeile und dritte klammer ist die dritte Zeile.

A={{a11, a12, 2/3}{2/3,-1/3,a23}{2/3,a32,1/3}}

Bestimmen Sie die möglichen Kombinationen für a11, a12, a23, a32 sodas die matrix orthogonal ist.

Problem/Ansatz:

Habe die transponierte matrix mit der anfangsmatrix multipliziert und gleich der einheitsmatrix(normalmatrix) gesetzt.

Durch gleich setzten von A22 mit 1 komme ich auf den Wert von +-(2/3) für a23 und gleichsetzen von A33 mit 1 auf +-(2/3) für a32.

Dies habe ich in A21 eingesetzten. Und nach einer unbekannten aufgelöst. Diese Lösung habe ich dann wieder in A21 eingesetzten. Dort bekomme ich allerdings nur den Wert 0 oder das a11, a12 Element aus R ist.

Wie komme ich auf die Werte für a11, a12?

Answer 1

MIt A1,3 = 0 kommst du doch auch auf  (2/3)*a₁₁ + a₁₂ = 0.

und das kannst du doch in A11=1 einsetzen .

Comments

Wenn ich das mache bekomme ich zwei Lösungen einmal a11= -(2/3) und (1/3)
Ist das so korrekt?

Habe A31 nach a11 aufgelöst und a11=-a12-(1/3) erhalten.
Das habe ich dann in A11 eingesetzt und nach a12 aufgelöst.


Zusatz: Darf ich bei solchen Gleichungen, wenn ich z.B. A31 nach a11 auflöse, dass dann nicht in A13 einsetzen? Also zwischen verschieden Spalten?

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Doch. Man muss ein Ergebnis sogar in allen Gleichungen überprüfen! Alle Gleichungen müssen erfüllt sein! Siehe unten die grün markierten Matrixelemente.

Answer 2

auf der Hauptdiagonale erhältst du:

a₁₁²+a₁₂²+4/9=1    *)

a₂₃²+5/9=1 ⇒ a₂₃ = ±2/3

a₃₂²+5/9=1 ⇒ a₃₂ = ±2/3

in den Nullen:

a₂₃'=0=a₂₃/3-a₃₂/3 +4/9=0 Dann bleibt nur: a₃₂=2/3, a₂₃ = -2/3

a12'=0=2a₁₁/3-a₁₂/3+2a₂₃/3=0 ⇒ 2a₁₁-a₁₂+2a₂₃=0 ⇒ 2a₁₁-a₁₂ -4/3=0 ⇒a₁₂ = 2a₁₁ -4/3 in *)

a₁₁=1/3, a₁₂=-2/3, a13'=0 muss stimmen.

Alle 9 (bzw. 6) Gleichungen müssen erfüllt sein. Diese Probe ist erforderlich.

Also eine Lösung! a₁₁=1/3, a₁₂=-2/3, a₂₃ = -2/3, a₃₂=2/3