Für welche Werte von a und b ist die Matrix A orthogonal? A= ((1/√17 , b),(a, -1/√17))

Question

Aufgabe:

Für welche a, b ∈ ℝ ist die Matrix orthogonal?

$$A = \left( \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { \sqrt { 17 } } } & { b } \\ { a } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 17 } } } \end{array} \right)$$

Answer 1

bilde die transponierte Matrix A^T . Damit A orthogonal ist muss sie der Bedingung

A*A^T = E

genügen, wobei E die Einheitsmatrix ist.

Schreibe das Produkt A*A^T mal als eine Matrix auf und vergleiche ihre Einträge mit den Einträgen der Einheitsmatrix. Du erhältst 4 Gleichungen mit denen du dann dein a und b bestimmen kannst die diese Gleichung erfüllen.

Gruß

Answer 2

( 1/√17    b             (1/ √17   a                    (1      0

a     -1/√17)    *     b     -1/√17)       =        0      1)

Diese Gleichung auflösen nach a und b.

(Darstellung hoffentlich verständlich. Sollten Matrizen sein.)

(1/17  + b^2           a/√17 - b/√17              (1    0

a/√17 -b/√17        a^2 + 1/17      )    =         0    1)

a/√17 - b/√17 = 0 ==> a=b

1/17 + b^2 = 1

b^2 = 16/17

b = ±4/√17

2 Möglichkeiten: a=b= 4/√17 und a=b= -4/√17