a und b so bestimmen das die Matrix orthogonal wird

Question

Aufgabe:

Man bestimme a und b, sodass folgende Matrix orthogonal wird

\( a *\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 4 & b\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Das Skalarprodukt der beiden Spaltenvektoren muss 0 ergeben, das heißt:

3a * 4a + 4a * ba = 0

Weiter komme ich leider nicht, was wäre da die Vorgehensweise?

Answer 1

Sei \(A=\left(\begin{smallmatrix}3a & 4a \\ 4a & ba\end{smallmatrix}\right)\). Bestimme \(a,b\) sodass $$A\cdot A^T= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ ist. Dabei ist \(A^T\) die transponierte Matrix von \(A\). $$A\cdot A^T=\begin{pmatrix}25a^2& 12a^2+4a^2b\\ 12a^2+4a^2b & 16a^2+a^2b^2\end{pmatrix}$$ Du musst jetzt also a,b finden, sodass $$\begin{pmatrix}25a^2& 12a^2+4a^2b\\ 12a^2+4a^2b & 16a^2+a^2b^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ ist. Dafür kannst du jede Gleichung einzeln lösen und die gemeinsame Lösung aller Teilgleichungen sind dann die gesuchten a,b: Löse \(25a^2=1\) und \(12a^2+4a^2b=0\) usw...

Comments

Die Definition ist mir bekannt, aber wie hilft mir diese a und b zu bestimmen?

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Das ist ein Gleichungssystem, welches du jetzt lösen kannst. Bestimme erstmal \(A^T\). Dann multipliziere \(A\cdot A^T\) und setze es gleich mit der Einheitsmatrix. Die Lösungen sind dann deine gesuchten Zahlen \(a,b\). Ich füge dir noch einen Gedankenanstoß hinzu.

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Ja danke habe ich dann auch später bemerkt. Für a kommt 1/5 bzw. -1/5 heraus und für b = -3

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Verstehst du das jetzt besser?

Du könntest übrigens auch die inverse Matrix bilden und dann \(a,b\) so wählen, dass \(A^T = A^{-1}\) ist.

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Ja auf jedenfall, ist ja logisch. Nur leider erkenne ich sowas meist nicht sofort.

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Deine Lösungsmenge für die Teilgleichungen sind richtig und auch das Endergebnis. Ich habe mich gerade vertan, also es ist richtig. Wenn wir a=1/5 bzw. (-1/5) einsetzen in die anderen Gleichungen, klappt es ja mit b=-3.

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Ich wäre da aber anderer Meinung: Wäre a = 0, dann hätten die Spaltenvektoren nicht die Norm 1, also ist a ungleich 0. Oder irre ich mich?

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Ja, alles gut. Ich habe mich vertan. Ich habe mein Kommentar bearbeitet. \(a=\pm \frac{1}{5}\) und \(b=-3\) sind die gesuchten Lösungen.

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ah sorry, hatte ich nicht gleich gesehen. Danke für deine Zeit

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Kein Problem, das siehst du ja auch nicht, wenn du die Seite nicht aktualisierst. :)

Gerne!

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Alternative Methode (und wie ich finde eleganter):

Eine Matrix \(Q=(q_1,q_2,...,q_n)\) heißt orthogonal, wenn$$\langle q_i , q_j \rangle =\begin{cases}0 , \quad i\neq j \\ 1 ,\quad i=j\end{cases}$$ Also sozusagen, wenn die Spaltenvektoren orthonormal zueinander sind. Daraus folgt, dass der erste Spaltenvektor die Länge 1 haben muss, also \(25a^2=1\). Und letztlich muss \(\langle q_1,q_2\rangle =3a\cdot 4a+4a\cdot ba=0\) - daraus folgt unmittelbar \(b=-3\). So spart man sich die Matrixmultiplikation.

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Ja, das wäre effizienter!

Answer 2

3a * 4a + 4a * ba = 0

Nach b aufgelöst ergibt sich sofort b=-3.

:-)