Parameter so bestimmen, dass die Matrix orthogonal ist.

Question

ich habe mit folgender Aufgabe meine Probleme. Vielleicht hat jemand von Euch einen Tipp für mich oder sieht, wo ich einen Fehler gemacht habe.

Aufgabe:
Ich soll für die Matrix A den Parameter λ > 0 so bestimmen, dass die Matrix orthogonal ist und anschließend soll ich noch die Inverse der Matrix A angeben.

A= \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) * \( \begin{pmatrix} λ & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{5} & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \)


Problem/Ansatz:

Zum Lösen der Aufgabe möchte ich folgenden Ansatz nutzen:
Eine Matrix ist orthogonal, wenn das Produkt aus der Transponierten und der Matrix die Einheitsmatrix ergibt.

A^T * A = E

Ich habe nun die Transponierte der Matrix und die Matrix miteinander multipliziert, dabei erhalte ich folgendes Ergebnis.

\( \frac{1}{5} \) * \( \begin{pmatrix} λ+1 & 0 & λ-2 \\ 0 & 5 & 0 \\ λ-2 & 0 & 5 \end{pmatrix} \)

Nun stelle ich die oben erwähnte Gleichung auf:

\( \frac{1}{5} \) * \( \begin{pmatrix} λ+1 & 0 & λ-2 \\ 0 & 5 & 0 \\ λ-2 & 0 & 5 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Wenn ich es richtig verstanden habe, ergibt sich für λ in diesem Fall folgende Gleichung:
\( \frac{1}{5} \) * (λ+1)=1

\( \frac{1}{5} \) λ+ \( \frac{1}{5} \) = 1

Nun löse ich diese nach λ auf und erhalte:
λ=4

Wenn ich diese 4 für λ nun in die Matrix einsetze und dann die Probe mache, dann erhalte ich aber nicht die 1 der Einheitsmatrix als Ergebnis. Daher muss ich irgendwo einen Denkfehler haben. Hat jemand einen Tipp für mich, wo ich ansetzen könnte? Zusätzlich irritiert mich auch der Vorfaktor vor der Matrix, eventuell habe ich dort einen Fehler gemacht.


Philippus

Answer 1

Es muss ja außerdem  λ−2 = 0 sein.

Ich bekomme allerdings bei A^T * A heraus

\( \frac{1}{5} \) * \( \begin{pmatrix} λ^2+1 & 0 & λ-2 \\ 0 & 5 & 0 \\ λ-2 & 0 & 5 \end{pmatrix} \)

Dann gibt es (1/5) * ( λ^2+1) = 1

<=>    λ = 2 (Da ja pos. Lösung )

Und das passt dann auch bei den anderen Stellen.

Comments

Hallo mathef,

vielen Dank für Deine Antwort! Ich werde das ganze versuchen nachzuvollziehen und melde mich gleich wieder.

Gruß
Philippus

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Hallo mathef,

ich hatte einen Fehler bei der Multiplikation der Matrizen gemacht. Ich habe es jetzt noch einmal durchgerechnet und komme auf das von Dir genannte Ergebnis.

Eine weitere Frage habe ich noch:
Zusätzlich soll nach dem Ermitteln von λ noch die A^-1, also die Inverse, ermittelt werden.

Dabei bin ich bis jetzt bis zu diesem Schritt gekommen:

Die Trennstriche | sollen die Trennung zwischen den beiden Matrizen (also der umzurechnenden Matrix und der Einheitsmatrix) darstellen.

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 | \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & \sqrt{5} & 0 | 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 | \frac{1}{5} & 0 & -\frac{2}{5}\end{pmatrix} \) 

Nun müsste ich, um die Wurzel zu einer 1 umzuwandeln, entweder die 2. Spalte mit \( \sqrt{5} \) oder mit sich selbst multiplizieren. Allerdings bin ich nicht sicher, ob eine solche Operation überhaupt erlaubt wäre.

Abschließend die letzte Frage: 
Wie muss ich mit dem Vorfaktor \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) vor der Matrix umgehen? Kann ich diesen beim Berechnen der Inversen sozusagen ignorieren und anschließend wieder vor die ermittelte Inverse setzen?

Gruß
Philippus

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Nach deinem letzten Schritt machst du einfach:

 2. Zeile durch √5.

Dann gibt es:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 | \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 | 0 &  \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\  0 & 0 & 1 | \frac{1}{5} & 0 & -\frac{2}{5}\end{pmatrix} \)

Vorsicht mit dem Vorfaktor !   Wenn du eine Matrix A und einen Vorfaktor k

Dann hast du ja mit A^(-1) eine Matrix, bei der A*A^(-1) = E ergibt.

Dann liefert das mit dem k davor k*A*A^(-1) = k*E

Also brauchst du vor dem A^(-1) den Faktor 1/k, dann passt es !

k*A*1/k * A^(-1) = E  , also die Inverse von k*A ist dann

1/k * A^(-1) .

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mathef,

vielen Dank für Deine Antwort und die Erläuterung! An das Dividieren durch \( \sqrt{5} \) hatte ich leider nicht gedacht.

In der Aufgabenstellung war die Matrix A ja mit dem Vorfaktor \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) gegeben, mit 2 für λ eingesetzt also so:

\( \frac{1}{\sqrt{5}} \)  * \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{5} & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \)

Wenn ich Deine Erläuterung richtig verstanden habe, dann müsste ich nun vor die Inverse den Vorfaktor \( \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \) setzen, damit auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens die Einheitsmatrix entsteht.

Dann sähe es so aus:

\( \frac{1}{\sqrt{5}} \)  * \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{5} & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \) * \( \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \) * \( \begin{pmatrix}  \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\  0 & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & -\frac{2}{5}  \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Alternativ könnte ich anstatt von \( \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \) auch (\( \frac{1}{\sqrt{5}})^{-1} \) schreiben, oder?

und noch einmal vielen vielen Dank,
Philippus