Belegung finden, so dass Matrix orthogonal

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Belegungen der Variablen a,b,c mit c ≥ 0, so dass A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ \frac{3}{5} & c \end{pmatrix} \) orthogonal ist

Problem/Ansatz:

Damit A orthogonal ist, muss A mit A transponiert die Einheitsmatrix ergeben

\( \begin{pmatrix} a & b \\ \frac{3}{5} & c \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} a & \frac{3}{5} \\ b & c \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

LGS

a * a + b * b = 1

a * 3/5 + b * c = 0

3/5 a + c * 3/5 = 0

3/5 b + c * c = 1

Aber das sind zu viele Variablen und die Aufgabe fragt nach allen Belegungen.

Comments

sollte eigentlich A^T * A = id_n sein. Du hast da falsch ?

also (a  3/5      *    (a    b          =    (1    0

        b    c)              3/5  c)                0    1)



d.h  ( a^2 +  3/5b      3/5 a  + 3/5 c    =  (1      0

          ab+bc          3/5b+c^2                  0      1 )

und ab + bc = 0 und somit ab = -bc und somit a = -c... aber ab da komm ich nicht mehr weiter:(

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Stimmt, hat Marcy falsch. :(

Danke fürs' Drauf-Aufmerksam-Machen! :)

Komm da momentan auch nicht weiter. Aber du hast recht, es muss zuerst die transponierte Matrix da stehen!

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Ich habe das in meiner Antwort mal als Kommentar ergänzt. Ich denke aber ihr habt schon Probleme 2 Matrizen miteinander zu multiplizieren. Das solltet ihr euch als erstes nochmals ansehen.

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:O Oops! Ich sehe erst jetzt dass ich bei Matrix Multiplikation verrechnet habe...

Danke Mathecoach und Marcy für antworten!! 

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Mathecoach, du bist der King. (Oder Baba, wie man in Frankfurt sagt). Danke dir vielmals.

Tsukiya, hast du von der Nachklausur die 6d) lösen können?

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Hi Marcy

Ja ich habe so gelöst.. meinung?

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Wow! Danke dir. Sehr ausführlich!

Habe die Aufgabe gestern Nacht nochmal als Frage gestellt https://www.mathelounge.de/611812/menge-mit-exklusiven-oder-xor-eine-gruppe, denke die Lösungsvorschläge laufen auf dasselbe hinaus

Answer 1

a * a + b * b = 1 --> a^2 + b^2 = 1

a * 3/5 + b * c = 0 --> 3·a + 5·b·c = 0

3/5 * 3/5 + c^2 = 1 --> c = ± 4/5

Deine 3. und 4. Gleichung kann ich nicht bestätigen. Die 3. sollte so aussehen wie die 2. oder nicht. und die 4. wie meine 3. oder nicht?

Comments

Nach Kommentar

A^T * A = [a, 3/5; b, c]·[a, b; 3/5, c] = [a^2 + 9/25, a·b + 3/5·c; a·b + 3/5·c, b^2 + c^2] = [1, 0; 0, 1]

Mögliche Lösungen

(a = - 4/5 ∧ b = - 3/5 ∧ c = - 4/5)
∨ (a = - 4/5 ∧ b = 3/5 ∧ c = 4/5)
∨ (a = 4/5 ∧ b = - 3/5 ∧ c = 4/5)
∨ (a = 4/5 ∧ b = 3/5 ∧ c = - 4/5)

Schaut mal ob das so passt.