Aufgabe:
Wir betrachten den euklidischen Vektorraum \( \mathbb{R}^{2} \) mit dem Standardskalarprodukt
\( <\vec{x}, \vec{y}>:=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2} \)
und die Matrix-Abbildung
\( \begin{aligned} A: & \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ &\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] & \longrightarrow A\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \quad \operatorname{mit} \quad A=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] \end{aligned} \)
Sei
\( \vec{b}=\left[\begin{array}{c} -5 \\ 3 \end{array}\right] \)
Berechnen Sie die Koeffizienten \( a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbb{R} \), sodass
1. der erste Spaltenvektor der Matrix \( A \) die Länge 1 hat und in dieselbe Richtung zeigt wie \( \vec{b} \) und
2. die Matrix-Abbildung \( A \) orthogonal ist.
(Rechnen Sie mit den exakten Werten, d.h. verwenden Sie beispielsweise für die Wurzel der Zahl 2 den Ausdruck \( \sqrt{2} \) und nicht einen gerundeten Wert wie z.B. 1.41)
