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Wir betrachten den euklidischen Vektorraum \( \mathbb{R}^{2} \) mit dem Standardskalarprodukt

\( < \vec{x}, \vec{y}> = x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2} \)

und die Matrix-Abbildung

\( \begin{array}{l} A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ \quad\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]+A\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \quad \text { mit } A=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] \end{array} \)

Sei

\( \vec{b}=\left[\begin{array}{c} -4 \\ 5 \end{array}\right] \)

Berechnen Sie die Koeffizienten \( a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbb{R} \), sodass

1. der erste Spaltenvektor der Matrix \( A \) die Länge 1 hat und in dieselbe Richtung zeigt wie \( \vec{b} \) und

2. die Matrix-Abbildung \( A \) orthogonal ist.

(Rechnen Sie mit den exakten Werten, d.h. verwenden Sie beisplelsweise für die Wurzel der Zahl 2 den Ausdruck \( \sqrt{2} \) und nicht einen gerundeten Wert wie z. B. 1.41)

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So könnte man schon mal anfangen:
$$ \begin{pmatrix} a_{11}\\a_{21} \end{pmatrix} = \vec b \cdot \frac1{|\vec b|}$$

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also wäre das (-4 5) * 1/wurzel(41) ?

muss ich dann für (a12 a22) das gleiche machen?

zwei von den vier Elementen haben wir ja nun - die anderen beiden müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:


https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

Als möglicher Vergleich - falls du sowas schon mal bewusst gemacht haben solltest - ist die Senkrechte auf einer Geraden in der Ebene, deren Steigung sich durch den negativen Kehrwert der Steigung der Ausgangsgeraden bestimmen lässt

also spalte 1.:  (-4/wurzel(41)  5/wurzel(41))

spalte 2: (5/wurzel(41)  4/wurzel(41))

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