Question

Bestimmen Sie bei diesen Matrizen die freien Koeffizienten, so dass sich orthogonale Matrizen ergeben:

\( A=\left(\begin{array}{rrr} -\frac{1}{2} & a_{12} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ a_{21} & \frac{\sqrt{2}}{2} & a_{23} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & a_{33} \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & ? & ? \\ ? & \frac{1}{2} & ? \\ ? & ? & \frac{1}{2} \end{array}\right) \)

Answer 1

Hi,

Du must folgenden Gleichungen lösen.

$$  A\cdot A^T=\begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
das ausmultipliziert ergibt z.B. für das (1,1) Element den Ausdruck \( x^2+\frac{3}{4} \) Da das \( 1 \) ergebn muss folgt, \( x=\frac{1}{2} \)
und das musst Du für die anderen Elemente genauso machen. Zur Kontrolle, die Lösungen sind
$$ \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}  $$

Comments

Danke schonmal, könntest du einmal ausschreiben wie du das an einer beliebigen stelle genau gemacht hast?

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Hi,
dass (1,1) Element von \( AA^T \) berechnet sich aus \( \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & a_{12} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ a_{12} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}=a_{12}^2+\frac{3}{4} \),
also erste Zeile von \( A \) mal erster Spalte von \( A^T \)
Dieser Ausdruck muss \( 1 \) werden, aslo \( a_{12}=\frac{1}{2}  \)