Aufgabe:
$$\begin{array}{l} {\text { Gegeben ist der Vektorraum } V :=\Pi_{2}([-1,1]) \text { mit dem Standarprodukt }\langle p, q\rangle :=\int_{-1}^{1} p(t) q(t) \mathrm{d} t} \\ {\text { Seien auberdem } p_{1}, p_{2} \in V \text { sowie } W :=\operatorname{spann}\left(p_{1}, p_{2}\right) \subseteq V \text { mit }} \\ {\qquad p_{1}(t) :=t, \quad p_{2}(t) :=t^{2}} \\ {\text { a) Zeigen Sie: }\left(p_{1}, p_{2}\right) \text { ist linear unabhäng: }} \\ {\text { b) Nutzen Sie das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt, um eine orthonormale }} \\ {\text { Basis von } W \text { zu bestimmen. }} \\ {\text { c) Sei } q \in V \text { definiert durch } q(t) :=t+t^{2} \text { . Bestimmen Sie die orthogonale Projektion } P_{V \rightarrow W}(q)} \\ {\text { von } q \text { auf } W .}\end{array}$$
Problem/Ansatz:
p(1)q(1)-(p(-1)q(-1))
p(1)q(1)-(p(1)-q(1) = 0
wie zeige ich jetzt, dass diese linear unabh sind?
