Aufgabe:
Sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) das Standardskalarprodukt in \( V=\mathbb{R}^{n} \) und \( A \in M(n, n ; \mathbb{R}) \). Sei \( \left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\} \) die Standardbasis von \( V \).
a) Zeigen Sie für alle \( v, w \in V \) gilt: \( \langle A v, w\rangle=\left\langle v, A^{t} w\right\rangle \).
b) Eine Matrix \( A \in M(n, n ; \mathbb{R}) \) heißt orthogonal, wenn \( \langle A v, A w\rangle=\langle v, w\rangle \) für alle \( v, w \in V \). Zeigen Sie die Äquivalenz folgender vier Aussagen:
(i) \( A \) ist orthogonal.
(ii) \( A^{t}=A^{-1} \)
(iii) Die Spalten von \( A \) bilden eine Orthonormalbasis.
(iv) Die Zeilen von \( A \) bilden eine Orthonormalbasis.
c) Sei \( A \) diagonalisierbar mit Eigenwerten, die ausschießlich \( \pm 1 \) sind. Geben Sie ein Kriterium für die Eigenräume \( E_{1} \) und \( E_{-1} \) an, das äquivalent dazu ist, dass \( A \) orthogonal ist und begründen Sie diese Äquivalenz. Die so erhaltenen Matrizen \( A \) sind genau die Spiegelungen an Untervektorräumen.
Problem/Ansatz:
Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss. Ich wäre über eine Lösung mit Erklärung sehr dankbar
