\( \mathrm{V} \times \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{K}, \quad\left(\mathrm{x}_{1}, \ldots, \mathrm{x}_{n}\right) \cdot\left(\mathrm{y}_{1}, \ldots, \mathrm{y}_{n}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \mathrm{x}_{i} y_{i} \)
Sind \( \mathrm{v}, \mathrm{w} \in \mathrm{V} \) mit \( \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=0 \), so sagt man, \( \mathrm{v} \) stehe senkrecht auf \( \mathrm{w} \), in Zeichen \( \mathrm{v} \perp \mathrm{w} . \) Für M \( \subseteq V \) setzt man \( \mathbb{M}^{\perp}=\{\omega \in \mathrm{V} \mid \forall \mathrm{v} \in \mathbb{M} \quad: \mathrm{v} \perp \mathrm{w}\} \).
Sei \( \mathrm{n} \in \mathbb{N} \), und \( \mathrm{V}=\mathrm{K}^{n} \) der Standardvektorraum über einem Körper \( \mathrm{K} \). Sei \( \mathrm{U} \) ein k-dimensionaler Unterraum von \( V \), mit einer Basis, die bezüglich der Standardbasis \( e_{1}, \ldots, e_{n} \) von \( V \) die Koordinatenmatrix
\( \left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & a_{1, k+1} & a_{1, k+2} & \cdots & a_{1, n} \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & a_{2, k+1} & a_{1, k+2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & a_{k, k+1} & a_{k, k+2} & \cdots & a_{k, n} \end{array}\right) \)
mit \( k \) Zeilen, n Spalten und gewissen Einträgen \( a_{i j} \in \mathbb{K} \) habe. Zeigen Sie: Dann ist U I ein \( (\mathrm{n}-\mathrm{k}) \) -dimensionaler Unterraum von \( \mathrm{V} \), mit einer Basis, die bezüglich \( \mathrm{e}_{1}, \ldots, \mathrm{e}_{n} \) die Koordinatenmatrix
\( \left(\begin{array}{cccccccc} -\mathrm{a}_{1, k+1} & -\mathrm{a}_{2, k+1} & \cdots & -\mathrm{a}_{k, k+1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -\mathrm{a}_{1, k+2} & -\mathrm{a}_{2, k+2} & \cdots & -\mathrm{a}_{k, k+2} & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ -\mathrm{a}_{1, n} & -\mathrm{a}_{2, n} & \cdots & -\mathrm{a}_{k, n} & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) \)
mit \( \mathrm{n}-\mathrm{k} \) Zeilen und \( \mathrm{n} \) Spalten besitzt.
Hinweis. Verwenden Sie an geeigneter Stelle Teil (4) von Aufgabe 11.3.
