Lineares Gleichungssystem hat stets eine Lösung, wenn n=m ? Wahr oder falsch?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { A) }  \text { (Lineare Gleichungen). Sei } A \in \mathbb{R}^{m \times n} \text { und } \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}, m, n \in \mathbb{N} . \text { Entscheiden }} \\ {\text { Sie, ob nachfolgende Aussagen wahr oder falsch sind: }} \\ {\text { a) Falls } m=n, \text { dann hat } A \vec{x}=\vec{b} \text { stets eine Lösung: }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Es geht mir nicht spezifisch um eine Aufgabe, sondern ich stell mir gerade die Frage, ob man hier nur inhomogene Gleichungssysteme betrachtet, oder das homogene System dazu nimmt, das es ja im Grunde immer gibt. Dann hätte man immer mindestens die triviale Lösung = 0.

Kann mir das jemand erklären?

Answer 1

homogenes System hat man ja nur für

b= 0-Vektor.

Comments

Hier steht element der natürlichen zahlen, d.h. ich habe keinen 0-Vektor und auch kein homogenes System?

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Also, so hast du das gemeint oder?

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Nein, das m und das n sind natürliche Zahlen, das heißt ja nur,

dass du genauso viel Gleichungen wie Variablen hast,

da muss es nicht immer eine Lösung geben.

etwa

x + y = 1   und  x + y = 2

 

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In diesem Fall würde es aber eine Parameterabhängige Lösung geben, (homogenes System) oder nicht? Oder ist das nicht der Fall, weil wir auf R beschränkt sind?

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a) Lässt die Interpretation in

In diesem Fall würde es aber eine Parameterabhängige Lösung geben, (homogenes System) oder nicht? Oder ist das nicht der Fall, weil wir auf R beschränkt sind?

nicht zu. Daher ist a) falsch.

Bei weiteren Teilaufgaben: Je nach Formulierung. Schau z.B. mal hier https://www.mathelounge.de/311411/aussagen-wahr-oder-falsch-lgs-gleichungssystem-immer-losbar

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Ah ok, d.h. wenn explizit nach einer Lösung gefragt ist, kann eine homogenes System gar nicht in Frage kommen. Sondern lediglich unlösbar, 1 Lösung oder unendlich Lösungen?

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Erlaubt ist b = Nullvektor schon. Aber das Wörtchen "stets" macht dann doch noch, dass die Aussage falsch ist. Wenn du ein einziges Gegenbeispiel findest, ist es ja nicht mehr "stets".