\( \mathrm{V} \times \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{K}, \quad\left(\mathrm{x}_{1}, \ldots, \mathrm{x}_{n}\right) \cdot\left(\mathrm{y}_{1}, \ldots, \mathrm{y}_{n}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \mathrm{x}_{i} y_{i} \)
Sind \( \mathrm{v}, \mathrm{w} \in \mathrm{V} \) mit \( \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=0 \), so sagt man, \( \mathrm{v} \) stehe senkrecht auf \( \mathrm{w} \), in Zeichen \( \mathrm{v} \perp \mathrm{w} . \) Für M \( \subseteq V \) setzt man \( \mathbb{M}^{\perp}=\{\omega \in \mathrm{V} \mid \forall \mathrm{v} \in \mathbb{M} \quad: \mathrm{v} \perp \mathrm{w}\} \).
Sei \( \mathrm{n} \in \mathbb{N} \), und \( \mathrm{V}=\mathrm{K}^{n} \) der Standardvektorraum ïber einem Körper \( \mathrm{K} \). Zeigen Sie:
(1) Für alle \( \mathrm{v}, \mathrm{w} \in \mathrm{V} \) gilt: \( \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=\mathrm{w} \cdot \mathrm{v} \), insbesondere also: \( \mathrm{v} \perp \mathrm{w} \Leftrightarrow \mathrm{w} \perp \mathrm{v} \).
(2) Für alle \( a \in K \) und \( u, v, w \in V \) gilt: \( (a u+v) \cdot w=a(u \cdot w)+(v \cdot w) \).
(3) Für \( \mathbb{M} \subseteq \mathbb{N} \subseteq V \) gilt \( \mathbb{M}^{\perp} \supseteq \mathbb{N}^{\perp} \).
(4) Für jedes \( \mathbb{I I} \subseteq V \) ist \( \mathcal{M}^{\perp} \) ein Unterraum von \( V \).
(5) Für jedes \( \mathbb{M} \subseteq \mathrm{V} \) gilt \( \mathbb{M}^{\perp}=\langle\boldsymbol{M}\rangle^{\perp} \).
