sei v vektorraum und körper k

Question

Sei v ein verktorraum über dem körper k.

1. Sei B(a,b,c) a,b,c paarweise verschieden, eine basis von v über dem körper k. Untersuchen sie, ob M (a+b, b+c, c+a) ebenfalls eine basis von v ist.

Hinweis: es ist eine fallunterscheidung bezüglich der charakteristik von k nötig.

2. Sei M eine nichtleere menge von unterräumen von v. Zeigen sie, dass dann ∩M  ein unterraum von v ist.

3. Seien u1,u2 unterräume von v. Zeigen sie, dass dann u1+u2 gleich lin (u1∪u2) ist.

4. a) zeigen sie, dass k^(I) definiert ist durch f ∈k^(I) Mit f(i) gleich 0 für alle bis auf endlich viele i∈I ein unterraum von k^(I) ist.

b) zeigen sie, dass e_i mit i element I mit e_i (j) definiert durch 1, falls i gleich j, 0 falls i ungleich j eine basis von k^(I) ist

Answer 1

zu 1)

sei x*(a+b)+y*(b+c)+z*(c+a)=0-Vektor

dann gilt

(x+z)*a + (x+y)*b + (y+z)*c = 0

und weil a,b,c eine Basis bilden ist also

x+z=0 und x+y=0 und y+z=0

also -x=z und   -x=y  damit    -x+(-x)=0

Falls char(K)>2 folgt aus dem letzten x=0

und durch die ersten beiden Gleichungen auch y=0 und z=0

Die Summenvektoren a+b, b+c, c+a sind also auch lin unabh.

und, weil die Anzahl 3 stimmt, also auch eine Basis für v.

Falls char(k)=2 ist, bilden sie nicht unbedingt eine Basis von v

wie das Beispiel (1,0,0), (1,0,1),(0,1,1) zeigt.

bei den Summen ist (a+b)+(b+c) = a+c also sind sie

lin. abh.

2. Sei M eine nichtleere menge von unterräumen von v. Zeigen sie, dass dann ∩M  ein unterraum von v ist.

ist zu zeigen für a,b aus dem Durchschnitt ist auch a+b im Dzrchschnitt

und  mit jedem x aus K auch x*a aus dem Durchschnitt.

seien also a und b aus dem Durchschnitt, dann sind

sowohl a als auch b in allen am Durchschnitt beteiligten UNterräumen,

da das Unterräume sind, ist a+b in jedem dieser Unterräume

und damit auch im Durchschnitt.

mit x*a ist es ebenso.

4. a) zeigen sie, dass k^(I) definiert durch f ∈k^(I)  Mit f(i) gleich 0 für alle

bis auf endlich viele i∈I ein unterraum von k^(I) ist.

ähnlich wie 3: seine f und g es K^(I) dann ist auch (f+g)(i) = 0 für alle

mit endlich vielen Ausnahmen, denn das hat höchstens so viele

Nichtnullstellen, wie die beiden einzelnen zusammen und da das beides

nur endlich viele sind, sind es auch zusammen nur endlich viele.

bei x*f ist es noch einfacher   x*0=0 also können auch hier Nichtnullstellen

höchstens da auftreten wo f eine Nichtnustelle hatte.

b) zeigen sie, dass e_i mit i element I mit e_i (j) definiert durch 1,

falls i gleich j, 0 falls i ungleich j eine basis von k^(I) ist

die e_i haben also alle nur eine 1-Stelle und ansonsten Nullstellen.

Jedes f mit nur endlich vielen Nichtnullstellen, kann also damit dargestellt

werden durch die Summe über die Indizes der endlich vielen Nichtnullstellen

und Summanden der Form f(i)*e_i

Im übrigen sind die e_i lin. unabh. denn in jeder Lin.komb. des Nullvektors

mit Koeffizienten a_i gilt in der i-ten Komponente, dass alle e_j mit i ungleich j dort

Null sind, also a_i*1 = 0   also  a_i=0.