[Q(√2) : Q] = 2
( 1 , √2 ) ist eine ℚ-Basis für ℚ(√2), weil alle Elemente a+b√2 sich
als Linearkombinationen von 1 und √2 darstellen lassen.
Und 1 und √2 sind lin. unabh. , da a+b√2 = 0 nur für a=b=0
erfüllt ist. Und wenn es eine Basis mit 2 Elementen gibt, hat
der Vektorraum die Dimension 2.
Ähnlich bei ℂ als ℝ-Vektorraum: Basis ( 1 , i ).
b) (b1, b2, . . . , bn) eine Basis von M über L und
(c1, c2, . . . , cm) eine Basis von L über K
Sei nun x∈M. Dann gibt es (u1, u2, . . . , un) ∈ L mit
x = (u1b1+ u2b2 + . . . unbn)
Für jedes i∈{1,...,n} gibt es (v1, v2, . . . , vm) ∈ K mit
ui = (v1c1+ v2c2 + . . . vmcm)
also insgesamt
x = \( (v_{1,1}c_1+ v_{1,2}c_2 + . . . +v_{1,m}c_m)b_1 \)
\(+ (v_{2,1}c_1+ v_{2,2}c_2 + . . . +v_{2,m}c_m)b_2 \)
\( +\dots+ (v_{n,1}c_1+ v_{n,2}c_2 + . . . +v_{n,m}c_m)b_n \)
Klammern auflösen gibt
x = \( v_{1,1}c_1b_1+ v_{1,2}c_2b_1 + . . . +v_{1,m}c_mb_1 \)
\(+ v_{2,1}c_1b_2+ v_{2,2}c_2b_2 + . . . +v_{2,m}c_mb_2 \)
\( +\dots+ v_{n,1}c_1b_n+ v_{n,2}c_2b_n + . . . +v_{n,m}c_mb_n \)
Also hast du eine Linearkombination für x durch die Familie
\( (d_{ij})_{i \in \{ 1,\dots,n \},j \in \{ 1,\dots,m \} } \)
die ist also ein Erz.system für M über K und dies enthält m*n Elemente.
Musst noch zeigen, dass die Familie auch lin. unabh. ist, also Ansatz:
\( \vec{0} =v_{1,1}c_1b_1+ v_{1,2}c_2b_1 + . . . +v_{1,m}c_mb_1 \)
\(+ v_{2,1}c_1b_2+ v_{2,2}c_2b_2 + . . . +v_{2,m}c_mb_2 \)
\( +\dots+ v_{n,1}c_1b_n+ v_{n,2}c_2b_n + . . . +v_{n,m}c_mb_n \)
Dann rückwärts vorgehen, also ausklammern gibt
\( \vec{0} = (v_{1,1}c_1+ v_{1,2}c_2 + . . . +v_{1,m}c_m)b_1 \)
\(+ (v_{2,1}c_1+ v_{2,2}c_2 + . . . +v_{2,m}c_m)b_2 \)
\( +\dots+ (v_{n,1}c_1+ v_{n,2}c_2 + . . . +v_{n,m}c_m)b_n \)
Und weil (b1, b2, . . . , bn) eine Basis von M über L ist, also
insbes. lin. unabh. ist, sind die Klammern alle =0
und weil (c1, c2, . . . , cn) eine Basis von L über K ist,
sind alle vi,j = 0 , also ist die Familie \( (d_{ij})_{i \in \{ 1,\dots,n \},j \in \{ 1,\dots,m \} } \)
auch lin. unabh. q.e.d.
