Bestimme alle Unterräume von K als K-Vektorraum:

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Bestimme alle Unterräume von K als K-Vektorraum:

Problem/Ansatz:

So ganz verstehe ich diese Aufgabe nicht bzw. was zu machen ist! Muss ich die Untervektorräume bestimmen (weil da ja steht als K-Vektorraum?)?

Wenn ja gäbe es, glaube ich, mindestens zwei, nämlich den Nullvektorraum und der K-Vektorraum selbst.

Danke für eure Hilfe!

Answer 1

Muss ich die Untervektorräume bestimmen

Ja. Weil das in der Aufgabenstellung steht.

weil da ja steht als K-Vektorraum

Das ist nicht der Grund, warum du alle Untervektorräume bestimmen musst.

mindestens zwei, nämlich den Nullvektorraum und der K-Vektorraum selbst.

Ja. Das sind auch die einzigen.

Sei \(U\neq \{0\}\) ein Untervektorraum von \(K\). Begründe warum dann \(U=K\) ist.

Comments

Super- vielen Dank für die Klarstellung

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Da \( U \neq\{0\} \) ist, existiert eine Zahl aus \( a \in \mathbb{K} \), \( 0 \neq u \in U \). Weil \( U \) unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, gilt für alle \( a \in \mathbb{K} \), dass \( a=\frac{a}{u} \cdot u \in U \). Dies zeigt \( U=\mathbb{K} \).

Richtig so?

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Das ist richtig so.

existiert eine Zahl aus \( a \in \mathbb{K} \)

Das ist trivial. \(\mathbb{K}\) ist ein Körper, hat also sogar mindestens zwei Elemente.

gilt für alle \(a\in \mathbb{K}\), dass \( a=\frac{a}{u} \cdot u \in U \)

Das würde auch dann gelten, wenn \(\mathbb{K} = \emptyset\) ist. Die Forderung "existiert eine Zahl \( a \in \mathbb{K} \)" ist also nicht nur trivial, sondern auch überflüssig.

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Die Forderung "existiert eine Zahl \( a \in \mathbb{K} \)" ist also nicht nur trivial, sondern auch überflüssig.

Das hätte ich vollkommend übersehen - ist aber einleuchtend!

Vielen Dank ☺