Für die Aufgaben 11.3, 11.4 und 11.5 wird folgende Begriffsbildung benötigt. Sei \( \mathrm{n} \in \mathbb{N} \), und \( \mathrm{K} \) ein Körper. Das Standardskalarprodukt auf dem \( \mathrm{K} \) - Vektorraum \( \mathrm{V}=\mathrm{K}^{n} \) ist die Abbildung
\( \mathrm{V} \times \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{K}, \quad\left(\mathrm{x}_{1}, \ldots, \mathrm{x}_{n}\right) \cdot\left(\mathrm{y}_{1}, \ldots, \mathrm{y}_{n}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \mathrm{x}_{i} \mathrm{y}_{i} \)
Sind \( \mathrm{v}, \mathrm{w} \in \mathrm{V} \) mit \( \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=0 \), so sagt man, \( \mathrm{v} \) stehe senkrecht \( \mathrm{auf} \mathrm{w} \), in Zeichen \( \mathrm{v} \perp \mathrm{w} . \) Fiir M \( \subseteq \mathrm{V} \) setzt man \( \mathbb{M}^{\perp}=\{\omega \in \mathrm{V} \mid \forall \mathrm{v} \in \mathbb{M} \quad: \mathrm{v} \perp \mathrm{w}\} \).
Sei \( \mathrm{n} \in \mathbb{N} \), und \( \mathrm{V}=\mathrm{K}^{n} \) der Standardvektorraum über einem Körper \( \mathrm{K} \). Zeigen Sie: Für jeden Unterraum U von \( \mathrm{V} \) gelten
(1) \( \operatorname{dimU}+\operatorname{dimU}^{\perp}=\operatorname{dim} \mathrm{V} \),
(2) \( \left(\mathrm{U}^{\perp}\right)^{\perp}=\mathrm{U} \)
Zusatzfrage:
Gilt stets \( \mathrm{U} \cap \mathrm{U}^{\perp}=\{0\} ? \)
Hinweis. Benutzen Sie, dass U immer eine Basis von derselben Form wie in Aufgabe 4 hat bezüglich einer Umordnung der Standardbasis (siehe Satz 9.7).
