Welche Ausdücke liefern Bilinearformen auf dem Standardvektorraum V = K^2?

Question

Aufgabe:

Wir schreiben \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \) und \( y=\left(y_{1}, y_{2}\right) . \) Welche der Ausdrücke

\( \begin{aligned} \Phi(x, y) &=\left(x_{1}-y_{2}\right)^{2} \\ \Psi(x, y) &=x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2} \\ \Theta(x, y) &=x_{1}^{2}-x_{1} y_{2}+y_{2}^{2} \\ \Upsilon(x, y) &=x_{1} y_{1}+2 \\ \Delta(x, y) &=x_{1} y_{1}+x_{1} y_{2} \end{aligned} \)

liefern Bilinearformen auf dem Standardvektorraum \( V=K^{2} \) ?

Answer 1

Probiere doch etwas :   z.B. bei dem ersten:

φ(  (1;2),(2;3))= ( 1 - 3)^2 = 4

φ(  2*(1;2),(2;3))= ( 2 - 3)^2 = 1   also nicht gleich 2*φ(  (1;2),(2;3))

damit keine Linearität in der 1. Komponente.

Das 3. geht wohl so ähnlich.

Beim 4. ist sicherlich etwas mit Faktoren zu machen, da in der Formel immer der gleiche Summand ist.

2 und 5 könnten welche sein, musst du halt die Definition durchgehen.

Die 2. vorgerechnet:

Bei der 2. wäre das wohl so: F ((x1;x2),(y1;y2)) = x2y1 - x1y2

Für Linearität in der 1. Komponente wäre zu zeigen

a)  F ((a1;a2)+(b1;b2),(y1;y2))= F ((a1;a2),(y1;y2)) + F ((b1;b2),(y1;y2))
b) F (z(a1;a2),(y1;y2))=  z* F ((a1;a2),(y1;y2)) 

Das kann man dann nachrechnen, etwa so:

F ((a1;a2)+(b1;b2),(y1;y2)) =  (Def. der Summe in K^2 )

F ((a1+b1;a2+b2),(y1;y2))=  Def. von F mit x1=a1+b1 und x2=a2+b2

= (a2+b2)*y1   - (a1+b1)*y2 

= a2y1 + b2y1 - a1y2 - b1y2

vergleichen mit F ((a1;a2),(y1;y2)) + F ((b1;b2),(y1;y2))

a2y1 - a1y2  +  b2y1 - b1y2  stimmt überein, also a) bewiesen.

dann b) ...  

und dann das alles noch für die 2. Komponente.