Cauchy Produkt von zwei Reihen

Question

Sei q ∈ ℝ mit |q| < 1. Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt der Reihe $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ q^{ k } }$$ mit der Reihe

$$\sum _{ l=0 }^{ \infty  }{ (-q)^{ l } }$$ . Welcher Grenzwert ergibt sich für die Produktreihe ?

Also mein Ansatz für diese Aufgabe wäre die Cauchy-Produktformel $$\sum _{ k=0 }^{ n }{ akbn-k } $$

und man sieht das q^k die Geometrische Reihe darstellen soll. Aber wie gehe ich da jetzt an die Aufgabe ran ?

Answer 1

$$\left(\sum_{l=0}^\infty (-q)^l\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty q^k\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n (-q)^k\cdot q^{n-k}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n (-1)^k\cdot q^n$$$$\quad=\sum_{n=0}^\infty q^n\cdot\sum_{k=0}^n(-1)^k=\sum_{n=0}^\infty q^{2n}.$$

Comments

aber es fehlt doch der Grenzwert ...

Denn muss ich nämlich auch noch bestimmen von den beiden Reihen

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außerdem kann das doch gar nicht sein, weil |q| < 1 sein muss