f(v + w, v + w) = f(v, v) + f(w, w) ist im Allgemeinen falsch. Begründen sie anhand der Bilinearformen und geometrisch

Question

Seien K := ℝ und V := ℝ3.

Sei f das Standardskalarprodukt auf V und sei Bˆ := ((1, −1, 0),(−1, 0, 1),(0, 0, −2)).

(a) Berechnen Sie M(f, Bˆ).
(b) Seien v, w ∈ V . Beschreiben Sie kurz, was es geometrisch bedeutet, wenn f(v, w) = 0 ist. Wie kann die Zahl f(v, v) geometrisch interpretiert werden?
(c) Sind v, w ∈ V , so ist die Gleichung f(v + w, v + w) = f(v, v) + f(w, w) im Allgemeinen falsch. Begründen Sie das einmal anhand der Definition von Bilinearformen und einmal geometrisch!

Ansatz:

a) habe ich bereits mit der definition der gramsche Matrix berechnet und erhielt: M(f, Bˆ) = \( \begin{pmatrix} 2 & -1&0 \\ -1 & 2&-2\\0&-2&4 \end{pmatrix} \)

b) Hier weiss ich nicht wirklich weiter, im Internet fand ich Aussagen wie:

f heißt orthosymmetrisch genau dann, wenn für alle v,w ∈ V gilt: Aus f(v,w) = 0 folgt f(w,v)=0

und f(v,v)=0 heißt schiefsymmetrisch oder alternierend, dann bräuchte man aber vermutlich noch f(v,v) ≠ 0 (glaube nicht, das es was mit der Lösung der Aufgabe zu tun hat)

bei c) habe ich leider keinen Ansatz und würde mich über eure Hilfe sehr freuen!^^

Answer 1

Hallo

 f(v,w) ist die Komponente von v in Richtung w mal der Länge von w, oder man hat die Komponente von v in Richtung w, wenn man durch |w| teilt. anderen Deutung f(v,w)=|v|*|w|*cos(α) mit α Winkel zwischen v und w.

damit kannst du dann auch d) geometrisch zeigen , das andere nachrechnen.

Gruß lul

Answer 2

zu (c): du kannst es ja auseinanderziehen, und dann siehst du:
f(v+w,v+w) = f(v+w,v)+v(v+w,w) = f(v,v)+f(w,v)+f(v,w)+f(w,w)  ≠  f(v,v)+f(w,w)

also gilt die Gleichung nur, wenn f(w,v)=0 ist und f(v,w)=0  (siehe (b))