Symmetrische Bilinearformen mit einer ONB

Question

Aufgabe:

Ich habe in einem Protokoll für LA1&2 folgende Fragen gefunden:

Könnte mir jdm die Antworten erkären? Sie verwirren mich nämlich ziemlich... (und meine Prüfung ist in 2 Tagen...)

1.) Frage: Was ist eine schöne Basis von einer symm. Bilinearform?

Antwort: Eine Orthonormalbasis (Das leuchtet mir ein)

2.) Frage: Und wie sieht die Matrix bzgl. dieser aus?

Antwort: In Diagonalgestalt (klar), wobei in der Diagonalen nur Einsen und sonst nur Nullen stehen. (Warum?? Bei einer orthogonalen Matrix, die EW in R hat und dreht ok, aber bei einer symm. Bilinearform?)

3.) Frage: Wie hieße die Basis, wenn in der Diagonalen 1 und -1 steht?

Antwort: Orthogonalbasis. (Das verstehe ich auch nicht)

Answer 1

2.) Frage: Und wie sieht die Matrix bzgl. dieser aus?

Antwort: In Diagonalgestalt (klar), wobei in der Diagonalen nur Einsen und sonst nur Nullen stehen. (Warum?? Bei einer orthogonalen Matrix, die EW in R hat und dreht ok, aber bei einer symm. Bilinearform?)

Bei einer Orthonormalbasis ist das Produkt zweier Basisvektoren entweder 0

(bei zwei verschiedenen) oder 1 bei einem mit sich selbst.

Also auf der Diagonale alles 1en und sonst 0en.



3.) Frage: Wie hieße die Basis, wenn in der Diagonalen 1 und -1 steht?

Antwort: Orthogonalbasis. (Das verstehe ich auch nicht)

Je zwei verschiedene haben dann das Skalarprodukt 0, also ist

es jedenfalls eine Orthogonalbasis.