Wechselbasismatrix: Geben sie die Matrixdarstellung bezüglich der Basis an

Question

Aufgabe:

Moin liebe Community!

Folgende Aufgabe zum Thema Wechselbasismatrizen bereitet mir Kopfschmerzen:

$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben sei die Abbildung } \varphi : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \text { mit }} \\ {\qquad \varphi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{2 x_{1}-x_{2}} \\ {-6 x_{1}+3 x_{2}}\end{array}\right)}\end{array} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { a) Geben Sie die Matrixdarstellung } A_{E_{2}}^{E_{2}} \text { von } \varphi \text { an, wobei } \mathcal{E}_{2} \text { die Standardasis des } \mathbb{R}^{2} \text { bezeichnet. }} \\ {\text { b) Geben Sie die Matrixdarstellung } A_{w}^{V} \text { von } \varphi \text { bezüglich der Basen }} \\ {\qquad v=\left(\left(\begin{array}{c}{3} \\ {5}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {2}\end{array}\right)\right) \text { und } w=\left(\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-3}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {2}\end{array}\right)\right)}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Also soweit ich weiß müsste ja bei der Teilaufgabe a) einfach die Matrix wieder rauskommen. Ich weiß jedoch nicht, wie ich das rechnerisch zeigen soll. Bei der Teilaufgabe b) bin ich dann schon komplett verloren.

Vielen Dank schonmal an alle im Voraus für die Antworten!

LG Andrew

Answer 1

Aloha :)

$$\varphi(x_1,x_2)=\left(\begin{array}{c}2x_1-x_2\\-6x_1+3x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 & -1\\-6 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)$$

Die Abbildung \(\varphi\) erwartet die Eingangsvektoren mit Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(E_2\). Hast du Vektoren mit Koordinaten bezüglich der Basis \(W\) musst du die Koordinaten also erst umrechnen. Das funktioniert durch Multiplikation mit der Basiswechselmatrix \(_{E_2}\!T_W\). Die Abbildung \(\varphi\) liefert ihr Ergebnis auch wieder in Koordinaten bezüglich der Basis \(E_2\). Diese musst du nun in Koordinaten bezüglich der Basis \(V\) umrechnen. Das funktioniert durch Multiplikation mit der Basiswechselmatrix \(_V\!T_{E_2}\) bzw. mit \(_{E_2}\!T_V^{-1}\)

$$_V\varphi_W=_V\!T_{E_2}\cdot\varphi\cdot\,_{E_2}\!T_W=\left(\begin{array}{c}3 & 1\\5 & 2\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c}2 & -1\\-6 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & -1\\-3 & 2\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}2 & -1\\-5 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2 & -1\\-6 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & -1\\-3 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}25 & -20\\-70 & 56\end{array}\right)$$