Funktionsschar , warum rechnet man das hier so?

Question

erstmal möchte ich mich hier bei euch allen bedanken, dass ihr mir so hilft, ohne euch wäre ich aufgeschmissen... Und meine Frage : ich verstehe nicht, warum die das hier so rechnen... also es handelt sich um die Aufgabe 3.1 und warum m= a^2-6a+9 die Steigung ist, und b=0 , also der Y-Achsenabschnitt gleich 0 beträgt. Weil eine linerae Funktion hat doch die Formel f(x)=mx+b oder? Könntet ihr mir das alles bitte erklären? Also die Vorgehensweise? Wäre euch wirklich dankbar

Answer 1

Hi, es gilt:$$\frac{f(a) }{a}=\frac{a^3-6a^2+9a}{a}=a^2-6a+9$$Somit gilt:$$h_a(x) =(a^2-6a+9) \cdot x$$Für den y-Achsenabschnitt berechne \(h_a(0)\):$$h_a(0) =(a^2-6a+9) \cdot 0 =0$$

Comments

Supii, danke danke danke, nur ist das eine lineare Funktion? Dumme Frage, aber da ist doch ein quadrat dabei oder? :S

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Bitte :)
Und das ist keine dumme Frage.

Da ist zwar ein Quadrat dabei, aber das Quadrat bezieht sich nicht auf das \(x\), sondern auf das \(a\). Der Term \(a^2-6a+9\) ist die Steigung der Funktion.

Für \(a=0\) gilt \(a^2-6a+9=0^2-6 \cdot 0 +9=9\) und somit \(h_0(x)=9x\). (Blau)

Für \(a=1\) gilt \(a^2-6a+9=1^2-6 \cdot 1 +9=4\) und somit \(h_1(x)=4x\). (Rot)

Für \(a=3\) gilt \(a^2-6a+9=3^2-3 \cdot 1 +9=-18\) und somit \(h_3(x)=-18x\). (Grün)

~plot~ 9x;4x;-18x ~plot~

Hier siehst du auch, dass dein y-Achsenabschnitt tatsächlich immer 0 ist.

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Oh mein Gott ich habe es endlich verstanden, cool danke :D , also das a bestimmt hier die Steigung der Funktion,  und diese ist wiederum abhängig von den Werten, die man für a einsetzt & somit ergibt sich dann die Steigung, und die hier von dir dargestelltenen Funktionen sind Funktionsscharen?

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Bitte :)
Ja, die Wahl von \(a\) bestimmt die Steigung. Änderst du dein \(a\), so änderst du automatisch die Steigung der Funktion. Und ja, das sind alles Funktionsscharen, da deine Funktion (hier speziell die Steigung der Funktion) abhängig ist vom Parameter \(a\).

Answer 2

Zuerst einmal deine Frage leserlich machen

f ( x ) = x^3 - 6x^2 + 9x
f ( a ) = a^3 -6a^2 +9a

h_a  (x) = f ( a ) / a * x
h_a (x) = a * ( a^2 - 6a + 9 ) / a * x
h_a  ( x ) = ( a - 3 ) ^2 * x

a = 2
h₂ ( x ) = ( 2 - 3 )^2 * x = 1 * x

y = m * x + b
m = 1
b = 0

Noch eine Gerade der Schar als Beispiel
a = 5
h_a  ( x ) = ( a - 3 ) ^2 * x
h₅  ( x ) = ( 5 - 3 ) ^2 * x
h₅ ( x ) = 4 * x
y = m * x + b
m = 4
b = 0

Answer 3

eine lineare Funktion hat doch die Formel f(x)=mx+b oder?

Genau !

Aber hier stand ja :   h_a(x) = f(a) / a  * x

oder auch         h_a(x) = f(a) / a  * x   +  0

Daran siehst du  m= f(a) / a     und  y-Achsenabschnitt 0

Und mit der Funktion f aus Teil 1.

Also f(x) = x³ - 6x² + 9x . Also ist f(a) = a³ - 6a² + 9a .   Da kannst du a ausklammern 

wenn du dann f(a) / a bildest kannst du durch a kürzen und es bleibt a² - 6a + 9

Comments

Oh danke , also du meinstest, man sieht durch ha(x)= f(a)/a*x+0 , dass der Y-Achsenabschnitt gleich 0 ist gell? Heißt das, dass man quasi f(a)/a als das m bezeichnen könnte, das x ganz normal als das x aus der Formel, und dann den letzten nicht vorhandenen Teil (....+b) als den Y-Achsenabschnitt betrachten könnte? 

Und das quadrat stört mich hier, denn ich dachte , dass eine lineare Funktion kein Quadrat oder so hätte :s oder ich bin verwirrt, von dem ganzen Lernen 

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Du hast alles richtig interpretiert. Das Quadrat ist ja nicht am x sondern am a.

Also ist a² - 6a + 9 einfach nur eine Formel. mit der für jede der Geraden die

Steigung berechnet. Denn es sind ja viele Geraden, für jedes a eine andere.