Exponentialgleichung mit unterschiedlichen Basen lösen: k·2^x-k=k-k·4^{-x}

Question

Folgende Gleichung soll nach x aufgelöst werden: 

k·2^x-k=k-k·4^-x

Ich bin bis:

0=2-4^-x-2^x

vorgestoßen.
Klar ist, dass x=0 eine Lösung ist, es gibt aber noch eine weitere Lösung, auf die komme ich allerdings nicht.

Answer 1

Wie schon vorgeschlagen, lässt sich hier mit der Substitution arbeiten:

2^x = u wäre eine sinnvolle Variante (da mach ich bei Dir weiter):

0 = 2 - 4^{-x} - 2^x

0 = 2 - 2^{-2x} - 2^x   |Subst

0 = 2 - u^{-2} - u       |*(-u^2)

0 = u^3 - 2u^2 + 1   

Um nun weiter zu machen könnte die Polynomdivision helfen, wenn man erkennt, dass u_(1) = 1 eine Lösung ist:

(u^3-2u^2+1)/(u-1) = u^2-u-1

Hier kommt man mit der pq-Formel schnell zum Ziel:

u_(2,3) = 1/2 ± √(5)/2

Zuletzt noch resubstituieren:

2^{x_(1)} = u_(1) = 1 --> x_(1) = 0

2^{x_(3)} = u_(3) = 1/2 + √(5)/2 --> x_(3) = (ln(1+√5) - ln(2)) / ln(2)

Für x_(2) erhalten wir keine Lösung.

Übrigens: Für k = 0 ist x beliebig ;).

Grüße

Answer 2

So was kannst du nun hier eingeben: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3D2-4%5E(-x)-2%5E(x) und bei alternate forms schauen, welche Version dich vielleicht auf reelle Lösungen führen könnte. 

Speziell interessant ist das Produkt, das dort 0 ist. Du kannst einzelne Faktoren 0 setzen. 

log bedeutet bei Wolframalpha übrigens ln. 

Answer 3

Hi,

bedenke, dass \(4^{-x}=(2^x)^{-2}\) ist und substituiere mit \(u=2^x\).