Question

Sei a ∈ IN und p eine Primzahl. Zeigen Sie:
(a) Für alle i ∈ {1,...,p−1} gilt p |  ("p über i")
(b) (a + 1)^p ≡ a^p + 1 (mod p)
(c) a^p ≡ a (mod p)
(Hinweis: Vollständige Induktion nach a.)

Sie dürfen zur Lösung eines Aufgabenteils die Aussagen der vorhergehenden Aufgabenteile
verwenden, auch wenn Sie diese nicht bewiesen haben.

Comments

zu (b)

\( p|{ \left( a+1 \right)  }^{ p }-\left( { a }^{ p }+1 \right) \)

⇔ \( p|\sum _{ k=1 }^{ p-1 }{  \begin{pmatrix}p \\ k \end{pmatrix} { a }^{ p-k } } \)

Answer 1

c) a^p ≡ a (mod p) ist in dieser Form a^p-1 ≡ 1 (mod p) der kleine Satz von Fermat. Dieser wurde mehrfach bewiesen (Beweise auch im Internet).