Dimension von UVR`en

Question

Habe nicht wirklich eine Ahnung wie ich das Lösen kann. Bin für jeden Lösungsansatz/Lösung dankbar

Answer 1

Eine Basis von U1 ist (1;1;....;1) ∈ Kⁿ , also dim = 1.

Und bei U2 ist es der Lösungsraum der einen homogenen

linearen Gleichung 

x1+x2+x3+....+xn =0 

Also dim = n-1.

wenn nicht diese Gleichung äquivalent zu 0=0 ist

und das ist sie dann, wenn n ein Vielfaches der 

Char von K ist. Dann ist die dim = n.

Comments

Danke für die Antwort. U1 ist mir nun klar, nur versehe ich das bei U2 mit Der Charakteristik noch nicht so ganz.

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Ich hab das auch falsch angegeben.

Wenn du z.B. Char = 2 hast , dann 

ist ja 1+1 =0 , also ist das nur beim 

Durchschnitt der beiden relevant.

U2 alleine hat schon dim= n-1 .

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Ganz blöde Frage: Warum ist die dim von U2 n-1? Und inwiefern ist die Char beim Durchschnitt relevant?

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Wenn die einzige Bedingung

die linearen Gleichung 

x1+x2+x3+....+xn =0 

ist. Heißt das doch :

Du kannst x2 bis xn frei wählen

und die bestimmen dann x1.

Also bekommst du für den Lösungsraum

eine Basis mit n-1 Basisvektoren.

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Achso danke. Ich komme aber noch nicht so ganz drauf, wie ich dim Schnitt U1U2 berecnen kann.

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Da musst du ja überlegen welche Vektoren beide Bedingungen

erfüllen, also von der Form (a,a,...,a) sind und 

x1+x2+x3+....+xn =0 erfüllen, also a+a+...+a=0

Beim Körper ℝ wäre die Gleichung ja nur für a=0 

erfüllt, also der Schnitt der 0-dimensionale 0-Raum.

z.B. bei char=2 gilt ja immer a+a= 0 also

für gerades n ist es immer erfüllt, dann ist also 

auch dim=1.

Bei char = 3 ist immer 1+1+1=0 also wenn n ein Vielfaches von 3

ist, ist dim=0, sonst wohl 1.

etc.

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Damit müsste dim U1+U2 = n-1 sein. Danke für deine Hilfe