Mit Hilfe der De Moivre’schen Formel ausdrücken: (cos + i sin )^6

Question

Lineare Algebra 2 Aufgabe 12

12. Drücken Sie in kartesischer Form mit Hilfe der De Moivre’schen Formel aus:
(a) (cos  + i sin )^6
(b) 1/((cos +i sin )^3)
(c) cos +i sin/ (cos +i sin)

Answer 1

( cos x + i sin x ) ⁶ = cos 6x + i sin 6x

 

1 / ( cos x + i sin x ) ³

= 1 / ( cos 3x + i sin 3 x )

= ( cos 3x - i sin 3 x ) / ( ( cos 3x + i sin 3 x ) * ( cos 3x - i sin 3 x ) )

=  ( cos 3x - i sin 3 x ) / ( cos ² 3x - i ² sin ² 3x )

=  ( cos 3x - i sin 3 x ) / ( cos ² 3x + sin ² 3x )

=  ( cos 3x - i sin 3 x ) / 1

=  ( cos 3x - i sin 3 x )

 

cos x + i sin x / ( cos x + i sin x )

= cos x + i sin x * ( cos x - i sin x ) / ( ( cos x + i sin x ) * ( cos x - i sin x ) )

= cos x + i sin x * ( cos x - i sin x ) / 1

= cos x + i sin x cos x - i ² sin ² x

= cos x + i sin x cos x + sin ² x

= sin ² x + cos x + i sin x cos x

Comments

gilt 1 = ( cos 3x - i sin 3 x )

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wieso gibt ( cos ² 3x + sin ² 3x ) = 1 ?

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Welche Formelsammlung hast Du?

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gilt 1 = ( cos 3x - i sin 3 x )

Nein, das gilt im allgemeinen nicht, sondern nur für x = ( 2 / 3 ) * π  * n mit ganzzahligem n.
Ich habe diese im allgemeinen falsche Behauptung aber auch nirgends verwendet. Warum also fragst du danach?

wieso gibt ( cos ² 3x + sin ² 3x ) = 1 ?

cos ² a + sin ² a = 1 gilt für alle Argumente a, also auch für a = 3 x

Diese Beziehung beruht auf dem Satz des Pythagoras. Sie wird allerdings meist mit vertauschten Summanden geschrieben, also:  sin ² a + cos ² a = 1 , was aber natürlich keinen Unterschied macht.

Erklären kann man das am Einheitskreis (siehe Bild):

Also: sin ² (alpha) + cos ² (alpha) = 1