Rotationsvolumen im Intervall a bis unendlich

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Rotationsvolumen der Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) im Intervall [1 | ∞]. Stellen Sie dafür zunächst das entsprechende Integral auf.

Vergleichen Sie anschließend das Ergebnis mit der Länge der Randfunktion und der Fläche \( \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{x} ~ dx \). Was ist daran merkwürdig?

Hinweis: Ein Integral, bei dem eine Grenze ∞ ist, nennt man uneigentliches Integral. Zur Berechnung geht man folgendermaßen vor:

1. Bestimmen Sie zunächst das Integral von 1 bis a und vereinfachen Sie den entstehenden Term so weit wie möglich.

2. Bestimmen Sie nun das Ergebnis des Terms, wenn a gegen unendlich geht.

Comments

Eine Ableitung brauchst du bei dieser Aufgabe nicht. Du sollst integrieren.

Übrigens: Die Ableitung von 1 / x ist nicht x sondern - 1 / x ²

Answer 1

Das Volumen V eines Rotationskörpers ist:

V = π * ∫_a ^b ( f ( x ) ) ² dx

Mit f ( x ) = 1 / x ergibt sich:

V = π * ∫_a ^b ( 1 / x ² ) dx

= π * [ - 1 / x ]_a ^b = π * [ ( - 1 / b ) - ( - 1 / a ) ]

 

Soll nun das Volumen des Rotationskörpers von a = 1 bis ∞ berechnet werden, so rechnet man:

V = lim _{b -> ∞} π * [ ( - 1 / b ) - ( - 1 / a ) ]

= π * ( 0 + 1 )

= π