Question

Vereinfachen bzw. lösen einer Wurzelaufgabe:

\( \sqrt[9]{a^{6} \cdot \sqrt[4]{a^{12}}}+\sqrt{\sqrt[6]{b^{10}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^{2}}} \) für \( a, b \geq 0 \)

Bitte ausführlich lösen, mir geht es um den Weg.

Answer 1

Hi,

schreibe die Wurzeln in Exponentenschreibweise

$$\sqrt[9]{a^6\cdot \sqrt[4]{a^{12}}} \cdot \sqrt{\sqrt[6]{b^{10}}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^2}}$$

$$ = (a^6\cdot a^{\frac{12}{4}})^{\frac{1}{9}} \cdot (b^{\frac{10}{6}})^{\frac12}\cdot (b^{\frac24})^{\frac13}$$

$$ = a^{\frac{6}{9}}\cdot a^{\frac{3}{9}} \cdot b^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac16}$$

$$ = a^{\frac{6}{9}+\frac{3}{9}} \cdot b^{\frac{5}{6}+\frac{1}{6}}$$

$$ = a\cdot b$$


Alles klar?


Grüße

Answer 2

Schreibe die Wurzeln als Potenzen:

^a√ ( b ^c ) = ( ^a√  b ) ^c = b ^{c / a}

und nutze dann die Potenzgesetze, insbesondere:

( a ^b ) ^c = a ^{b * c}

und

a ^b * a ^c = a ^{b + c}

 

Mit den Wurzeln als Potenzen geschrieben sieht deine Aufgabe so aus:

( a ⁶ * a ^{12 / 4} ) ^{1 / 9} * ( b ^{10 / 6}  ) ^{1 / 2} * ( b ^{2 / 4} ) ^{1 / 3}

= a ^{6 / 9}  * a ^{12 / 36} * b ^{10 / 12} * b ^{2 / 12}

= a ^{( 24 / 36 ) + (12 / 36 )} * b ^{( 10 / 12 ) + ( 2 / 12 )}

= a ^{36 / 36} * b ^{12 / 12}

= a ¹ * b ¹

= a * b