Integralrechnung - Aufgabenstellung unklar. Muss ich zwei Mal das selbe tun?

Question

3. Gegeben ist die Funktion f(x)=1/3x^{3} - 3x

a) \( \int_{-1}^{2}f(x)dx= \) 

Ich habe hier als Resultat: -13/4 
Frage: Kann die Fläche negativ sein oder muss ich den Betrag davon nehmen?

b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f(x) mit der x-Achse
und den beiden Grenzen x = -1 und x = 2 einschliesst.

Die Nullstellen der Funktion sind bei

x_(1) = -3
x_(2) = 0
x_(3) = 3

Frage: Bilde ich das Integral nun von:

(1) -3 bis 3 

(2) -3 bis 0 + von 0 bis -3 ?
(Aufgrund Symmetrie kann ich auch 2*Integral von 0-3 nehmen).

(3) Oder was will der von mir ?

Lösung: I17/12I + I-14/3I = 73/12 

Der Graph
~plot~ (1/3)x^{3}-3x ~plot~

Answer 1

f ( x ) = 1/3x ^{3} - 3*x
Bilden wir erst einmal die Stammfunktion
S ( x ) = 1/3 * x^4 / 4 - 3 * x^2 / 2
S ( x ) = 1/12 * x^4  - 3 / 2 * x^2
Integriert wird max von Nullstelle zu Nullstelle
Hier nur von den Intervallgrenzen
-1 .. 0 = 17/12
und
0 .. 2 = -14/13

Flächen sind grundsätzlich positiv

17/12 + | -14 / 3 | = 17/12 + 56 / 12
73 / 12

Comments

Das obige ist die Fläche.

Bei Integral wird, ohne auf Nullstellen zu achten, gerechnet

[ S ( x ) ] zwischen -1..2 = -13 / 4

Der Unterschied
Stelle dir die sin-Funktion vor

Integral von 0 bis 2π = 0
Die Fläche oberhalb der x-Achse und
unterhalb der x-Achse heben sich auf.

Fläche
| ( 0..π) | plus | ( π..2π) |
2 identische Flächen

---

Also wenn ich das Integral ausrechne ohne auf die Nullstellen zu achten, bekomme ich nicht die "wirkliche Fläche" wie wenn ich zuerst von der zu integrierenden Funktion die Nullstellen herausfinde und dann von Nullstelle zu Nullstelle integriere?

---

Jaha. Fülltext.