Hi,
ich nenne die angegebene Matrix mal \(A\).
Zur a):
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix \(A\) sind genau die Eigenwerte von \(A\).
Dein charakteristisches Polynom ist:
\(\chi_A=\det(t \cdot Id_3-A)\)
Zur b):
Die Determinante würde ich mit dem Laplaceschen Entwicklungsatz nach der ersten Zeile berechnen:
\(\det(A)=3 \cdot \det(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}) - 5 \cdot \det(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\end{pmatrix}) + 0 \cdot \det(\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2\end{pmatrix})\)
Den Rest überlasse ich dir.
Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge, das kriegst du hin :)
Zur c):
Sei \(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\) und \(x_{\lambda}\) ein zugehöriger Eigenvektor.
Es gilt: \(Ax_{\lambda}= \lambda \cdot x_{\lambda} \ \Rightarrow \ (A- \lambda \cdot Id_3)x=0\)
Dies kannst du nun z.B. mit Hilfe des Gauß-Algorithmus lösen.
