Gesucht ist das Produkt (2-3i)^15

Question

Muss ich das jetzt wirklich ausmultiplizieren? In der Prüfung ist kein Taschenrechner erlaubt!

Answer 1

Nein, das musst Du nicht ausmultiplizieren. Du könntest \(z=2-3i\) zuerst in die Polarform umwandeln, wodurch das Potenzieren erleichtert wird. Anschließend kannst Du wieder die kartesische Form herstellen. Siehe dazu meinen Beitrag von heute: https://www.mathelounge.de/508732/es-wird-verlangt-den-real-und-imaginarteil-zu-berechnen-von#c508983

Comments

Hast du einen Tipp wie das im Kopf gehen soll? Also weder den Betrag noch den Winkel kann ich gut im Kopf ausrechnen.

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Wenn man die Quadrat- und Kubikzahlen von \(1\) bis \(30\) gelernt hat (frag nicht ...) und weiß, dass \(\left(\sqrt{13}\right)^{15}=\underbrace{13^7}_{13^3\cdot 13^3\cdot 13}\cdot\sqrt{13}\), dann kann man das mit viel Konzentration noch im Kopf berechnen (ohne die letzte Wurzel versteht sich).

Wenn in der Klausur keine Tabelle mit passenden \(\arctan-\)Werten gegeben ist, sehe ich für den Winkel allerdings schwarz. Man könnte allerdings die Ergebnisse exakt hinschreiben, denn 

\(13^7\cdot \sqrt{13}e^{i\cdot 15\cdot \arctan(-1.5)}\)

im Kopf zu ermitteln, ist auch ohne NZT-48 möglich ;-) Man könnte das Ergebnis dann mit den exakten Werten notieren.

Also ich denke nicht das du so eine Aufgabe in der Prüfung bekommen wirst, die ohne TR geschrieben wird.
Da gehe ich mit Dir d'accord!

Answer 2

Ich denke ohne TR ist man bei solch einer Aufgabe aufgeschmissen

(2 - 3·i)^15 = √(2^2 + 3^2)^15·EXP(i·15·ATAN(- 3/2))

Auch in Polarform umwandeln nützt wie man sieht nichts. Weder der Betrag noch den Winkel kann man hier richtig gut im Kopf berechnen.

Also ich denke nicht das du so eine Aufgabe in der Prüfung bekommen wirst, die ohne TR geschrieben wird.