Gebrochen rationale Funktion faktorisieren

Question

Ich möchte den folgenden Term faktorisieren:

f(x) = (0,5x²-2)/(1-x)

Um den Zähler zu faktorisieren habe ich ihn gleich 0 gesetzt:

0,5 x² - 2 = 0

x1 = -2

x2 = 2

Also kann ich doch jetzt den Zähler in faktorisierter Form auch so schreiben:

g(x) = (x - 2) * (x + 2)

Wenn ich jetzt aber den Zähler von meinem f(x) gleich g(x) setze geht das nicht auf:

0,5 x² - 2 = (x - 2) * (x + 2)

0,5 x² - 2 = x² - 2 | +2

0,5 x² = x²

ERROR

Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Du hast nur den Faktor 0.5 vergessen, der sehr gut vor dem x^2 zu erkennen ist:

0.5 * x^2 - 2 = 0.5 * (x - 2) * (x + 2)

Answer 2

Wenn du den Term
0,5 x ² - 2
mit 2 multiplizierst, erhältst du einen anderen Funktionsterm. 0,5 x ² - 2 ist eben nicht dasselbe wie x ² - 4. Zwar haben beide Terme dieselben Nullstellen, aber der Streckfaktor 0,5 geht verloren. Den musst du also "retten", indem du ihn ausklammerst:
= 0,5 * ( x ² - 4 )
Jetzt kannst du den Term in der Klammer faktorisieren (z.B. durch Bestimmung seiner Nullsetzen) und erhältst insgesamt:

0,5 * ( x - 2 ) * ( x + 2 )

und wenn du das ausmultiplizierst, erhältst du wieder deinen ursprünglichen Zähler.