Welche Menge einer Zuckerlösung unbestimmter Konzentration ist nötig, um eine Zuckerlösung von 15% auf 20% zu erhöhen?

Question

1.      
Frage

In einem Becken mit einem Fassungsvermögen von 1200 Liter
sind 600 Liter Zuckerlösung von 15% enthalten. (ganz gewöhnlicher
Speisezucker γ = 1,606)

Es sollte Zuckerlösung von max. 60% dazugegeben werden, so dass
am Ende im Becken 1000 Liter 20%iger Zuckerlösung vorhanden sind.

Wieviel Liter neue Lösung und in welcher
Konzentration muss diese zubereitet werden, um möglichst restlos die 1000
Liter zu 20% zu erhalten?

Wieviel kg Zucker sind notwendig?

 

2. Frage

In einem Becken mit einem Fassungsvermögen von 1200 Liter
sind 950 Liter
Zuckerlösung von 15% enthalten.

Es sollte Zuckerlösung von  50%
dazugegeben werden, so dass am Ende im Becken 1000 Liter 20%iger Zuckerlösung sind.

Wieviel Liter der 15% Lösung 
muss abgelassen werden und wieviel Liter der 50% Lösung dazugegeben
werden um die 1000 Liter zu 20% zu erhalten?

Wieviel kg Zucker sind dafür notwendig?

Für Naßholzkonservierung musste ich oftmals Zuckerlösungen
von 15%, in Stufen von 5%-10% auf eine Konzentration zu 60% erhöhen. Dazu
erstellte ich mir in EXCEL ein Makroprogramm um dieses Problem im
Annäherungsverfahren zu lösen. (Das auch ausgezeichnet funktionierte). Wenn ich
es auch nicht mehr benötige, interessiert es mich trotzdem, wie die genaue
mathematische Formel aussehen müsste.

Nachdem ich schon einmal mit gute-mathe-fragen erstklassige
Erfahrung machte wende ich mich wieder an dieses Forum und verbleibe mit bestem
Dank in voraus

Günther Niederwanger

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Welche Menge einer Zuckerlösung unbestimmter Konzentration ist nötig, um eine Zuckerlösung von 15% auf 20% zu erhöhen?

Stichworte: prozent,prozentrechnung

1. Frage
In einem Becken mit einem Fassungsvermögen von 1200 Liter sind 600 Liter Zuckerlösung von 15% enthalten. (ganz gewöhnlicher Speisezucker γ = 1,606)

Es sollte Zuckerlösung von max. 60% dazugegeben werden, so dass am Ende im Becken 1000 Liter 20%iger Zuckerlösung vorhanden sind.
Wie viel Liter neue Lösung und in welcher Konzentration muss diese zubereitet werden, um möglichst restlos die 1000 Liter zu 20% zu erhalten?
Wie viel kg Zucker sind notwendig?

2. Frage
In einem Becken mit einem Fassungsvermögen von 1200 Liter sind 950 Liter Zuckerlösung von 15% enthalten.
Es sollte Zuckerlösung von 50% dazugegeben werden, so dass am Ende im Becken 1000 Liter 20%iger Zuckerlösung sind.
Wie viel Liter der 15% Lösung muss abgelassen werden und wie viel Liter der 50% Lösung dazugegeben werden um die 1000 Liter zu 20% zu erhalten?
Wie viel kg Zucker sind dafür notwendig?
Wasser und Zuckerlösung können nur in Liter gemessen werden, der Zucker (γ = 1,606) für die Zubereitung der Lösung kann nur in Kilogramm (100 g genau) gewogen werden!

Für Naßholzkonservierung musste ich oftmals Zuckerlösungen von 15%, in Stufen von 5%-10% auf eine Konzentration zu 60% erhöhen. Dazu erstellte ich mir in EXCEL ein Makroprogramm um dieses Problem im Annäherungsverfahren zu lösen. (Das auch ausgezeichnet funktionierte). Wenn ich es auch nicht mehr benötige, interessiert es mich trotzdem, wie die genaue mathematische Formel aussehen müsste.

Nachdem ich schon einmal mit euch erstklassige Erfahrung machte, wende ich mich wieder an dieses Forum und verbleibe mit bestem Dank im Voraus.


Günther Niederwanger

Answer 1

Hallo Günther, hier ist der Anfang der Bearbeitung, siehe Bild.

Comments

Hallo Roman

Deine Antwort geht ein wenig am Problem vorbei, schicke deshalb eine EXCEL-Datei mit den besseren Erläuterungen meiner Fragen, sowie mit 3 Lösungsbeispielen. Nicht enthalten in der Datei sind die Makros und das dazugehörende Rechnungs-Arbeitsblatt.ZUCKERLÖSUNGEN.xlsx (63 kb) was ich eventuell später nachschicke.

Einstweilen schöne Grüße aus Bozen

Günther

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Hallo Günther, deine Datei *.xlsx ist weder mit Microsoft Excel 2002 noch mit OpenOffice Calc 4.1.3 lesbar.  Bitte stelle sie als *.xls zur Verfügung.  Zudem brauche ich vermutlich, um herauszufinden, was du willst, kein Zahlengrab, sondern eine Beschreibung in Worten, was an meiner Lösung nicht passt und wie das Problem sonst zu verstehen ist.  , Roman

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Hallo Roman,

vielen Dank für deine Mühe - habe nun die EXCEL-Datei in  *xls gespeichert, die ich dir jetzt sende. ZUCKERLÖSUNGEN.xls (0,2 MB) 

Hoffe dass es jetzt funktioniert und im Arbeitsblatt "Fragen" alles verständlich
dargelegt ist.


Günther

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Hallo Günther, vielen Dank für die xls Datei.  Im Arbeitsblatt „Fragen“ steht genau dasselbe wie von Anfang an in MatheLounge, so dass ich keinen Nutzen daraus ziehen kann.  Im Arbeitsblatt „Antwort für 1.1“ stehen vier Tabellen, von denen ich mangels Beschreibung in Worten nicht weiß, wofür sie gut sind.  Zahlen kann ich in der unteren Tabelle nicht lesen, da in den Feldern nur „WERT“ steht, siehe Bild.    

Was also fehlt, ist eine klar strukturierte Beschreibung des Problems.

Answer 2

600 * 0.15 = 90
1000 * 0.2 = 200

400 * x = 110
x = 27.5 %

Probe
600 * 0.15 + 400 * 0.27.5 = 1000 * 0.2

400 liter zu 27,5 %

So lautet meine Rechnung für Aufgabe 1.)

Richtig oder falsch ?

Oder soll gamma noch mitberücksichtigt
werden ?

Comments

Hallo Georgborn, genau!  Dieselbe Lösung habe ich auch.

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x : Menge 15 % ige Zuckerlösung
y : Menge 50 % ige Zuckerlösung

x * 0.15 + y * 0.5 = ( x + y ) * 0.2
x + y = 1000
x = 1000 - y

Einsetzen
( 1000 - y ) * 0.15 + y * 0.5 = ( 1000 ) * 0.2

y = 143 Liter
x = 857 Liter

Probe
857 * 0.15 + 143 * 0.5 = 1000 * 0.2
129 + 71 = 200
stimmt

---

Falls Aufgaben dieser Art immer wieder vorkommen
können diese mit realativ wenig Aufwand auch
selbst berechnet werden.

l1 : Menge Lösung1 in Liter
k1 : Konzentration Lösung1 in %
l2 : Menge Lösung2 in Liter
k2 : Konzentration Lösung2 in %
lg : Gesamtmenge der Lösungen
kg : Konzentration der Gesamtlösung

Ich stelle gern einmal die leicht
zu handhabenden Formeln auf.

---

Zu Zuckerlösungen

15 gr Zucker auf 85 gr Wasser entspricht
einer 15 %igen Zuckerlösung

Diese hat eine spezifische Dichte von
1.059 kg / Liter ( Tabellenwert )

600 Liter haben ein Gewicht von 635.4 kg.
Darin enthalten sind 15 % Zucker = 95.31 kg
und 540.09 kg Wassser.

Es wird schon einen Unterschied ausmachen
ob man dies bzw. die Dichte der Zuckerlösung
generell berücksichtigen will.

---

Hier meine Rechenwege zu genaueren
Berechnung

400 Liter zu 27.14 %.
Ich habe mir gerade die Werte meiner
ursprünglichen Rechnung angesehen
und klopfe mir selbst auf die Schulter.

---

Hallo Günther,
betr. deinen heutigen Kommentar.
Excel Dateien kann ich leider nicht lesen.

Die obige Rechnung dürfte ein haargenaues
Ergebnis sein.
Der Rechenaufwand ist gegenüber einer
einfachen Berechnung wesentlich höher
könnte aber automatisiert werden.
Iterationen sind nicht notwendig.
Eine Excel Lösung kann ich dir leider
nicht anbieten.

Mein Eindruck : je kleiner die Konzentrationen
( hier bis 27 %ig ) desto geringer sind auch
die Abweichungen " einfache / kompliziertere
Berechnung ".
Man könnte versuchen alles in eine Formel zu
packen.

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Hallo Georgborn

mein größtes Kompliment!

Deine Berechnung bringt genau dasselbe Resultat, aber auf einem viel einfacheren Weg.

Muss mir noch Deine Rechenwege zur genaueren Berechnung näher ansehen und versuchen mir damit eine Excel-Rechentabelle zu basteln.

Schicke Dir einen Ausschnitt aus meinen Berechnungen auf einer *.pdf Datei. ZUCKERLÖSUNG.pdf (0,2 MB)

Bezüglich der Dichte der verschiedenen Konzentrationen der Zuckerlösungen (Sirup) machte ich mir folgende Excel-Tabelle, die ich auch im pdf-Format beilege. Die damit berechneten Daten stimmen im Vergleich ziemlich genau mit denen auf einer Dichte-Tabelle aus dem Internet (der Link ist angeführt) überein.

Sirup-Dichte-Berechnung.xlsx (17 kb)      Sirup-Dichte-Berechnung.pdf (0,4 MB)

Nun mache ich Schluss für heute - melde mich morgen wieder.

Vielen Dank und einen schönen Tag noch

Günther

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ich habe die Umrechung Konzentration
zu Dichte aus

https://www.winopal.com/laborbedarf/produkte/kalibrierloesungen/zuckerloesungen.html

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Hallo Günther,

was sind Deine Werte für die 2. Frage? Ich komm auf

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Vorarbeit
Dichte = f ( Konzentration )
d ( x ) = 11/60 * x^2 + 221/600 * x + 1
aus 3 Stützstellen
f ( 0 ) = 1
f ( 0.3 ) = 1.127
f ( 0.6 ) = 1.287
aus oben angegebenem Link

Rechenweg
Ausgangslösung
ka = Konzentration Ausgangslösung = 0.15
da = Dichte Ausgangslösung
da ( 0.15 ) =  1.059 kg/liter
va = Volumen = 600 liter
ga = Gewicht = da * va = 1.059 * 600 = 635.4 kg
gz = Gewicht Zucker = 635.4 * 0.15 = 95.31 kg

Ziellösung
kz = Konzentration Ziellösung = 0.2
dz = Dichte Ziellösung
dz ( 0.2 ) =  1.081 kg/liter
vz = Volumen = 1000 liter
gz = Gewicht = dz * vz = 1.081 * 1000 = 1081 kg
gz = Gewicht Zucker = 1081 * 0.2 = 216.2 kg

Zugabe
vzu = Volumen = 1000 - 600 = 400 Liter
gzu = Gewicht Zucker = 216.2 - 95.31 = 120.89 kg

Berechnung Konzentration
x : Konzentration
Dichte * Volumen * Konzentration = Zugabe Zucker
d ( x ) * 400 * x = 120.89
( 11/60 * x^2 + 221/600 * x + 1 ) * 400 * x = 120.89
Mit Matheprogramm gelöst
x = 0.2714 = 27.14 %

Zugabe 400 Liter 27.14 %iger Lösung

---

Geht es in Praxis auch darum wie Arbeiten am einfachsten zu erledigen sind ? Dem Becken müssen
Zugabe
vzu = Volumen = 1000 - 600 = 400 Liter
gzu = Gewicht Zucker = 216.2 - 95.31 = 120.89 kg
zugeführt werden.
Also 120.89 kg Zucker abwiegen,dem Becken
zukippen und das Becken auf 1000 Liter
auffüllen.
Der letzte Rechengang braucht dann nicht
mehr durchgeführt werden.

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Hallo georgborn

In der Praxis geht es wohl auch darum, wie Arbeiten am einfachsten zu erledigen sind, jedoch im Fall der Holzkonservierung kann ins Becken der Zucker nur in Form einer höherprozentigen Lösung zugeführt werden.

Da im Becken möglichst viel Holzobjekte hineingelegt werden und die Zuckerlösung mindestens 2 cm über das Holz reichen soll, muss vor der Aufzuckerung Lösung abgelassen werden, um für das Konzentrat Platz zu schaffen.  -  jedoch aus Kostengründen nur so wenig wie nötig wegnehmen! 

Wenn die Hölzer nur zur Hälfte, oder noch weniger das Becken füllen, ist für die ersten Aufzuckerungen, bis knapp unter dem Beckenrand freier Platz. 

Um die nötige Menge, sowie den Prozentsatz des Konzentrats zu berechnen machte ich mir mein EXCEL-Programm. 

Kann ich Dir über  -*E-Mails nicht erlaubt*-  *.pdf und *.jpg Dateien schicken? (12 Dateien, zusammen 22MB)

Glaube dass ein Bericht über Holzkonservierung, den ich für unsere Kulturzeitschrift  "DER SCHLERN" verfasste nicht in das Mathelounge-Forum passt.

Darin ist wohl hauptsächlich die Nassholz-Stabilisierung mit Melaminharz (Kauramin 800 mit Zugabe von Harnstoff und 1,4-Butandiol) beschrieben, enthält aber auch ein kurzes Kapitel über die Konservierung mit der Zuckermethode. An den Bildern kannst Du sehen wie das Becken beschaffen ist und was ich damit machte. 

Auch für die Berechnung der Melaminharz-Mischungen machte ich mir eine Excel-Tabelle.

mit vielen Grüßen

Günther

 

Answer 3

Ich glaube ich weiss was Dir vorschwebt. Ich hab ähnliche Prozesse und mal ein Beispiel zusammen gebaut:

Ich hab 3 Prozessschritte, die Deine Aufgabe 1 abbilden. Schau mal drüber, ob ich das richtig verstanden habe? Du hast eine Zuckerlösung P1 7,5%, davon muss was weg P2, um Platz zu schaffen für eine 60% ig Lösung P3 damit Du auf 1000 kg Endlösung mit 20% kommst.

Meine Formel oben in Excel:

{(B2*D2+(B1+B2)*(B11*D11)+(B1+B2)*(B10+B11)*B21*D21)/((B1+B2)*(B10+B11)*(B20+B21))=D30, (B1+B2)*(B10+B11)*(B20+B21)=E30/E1}

Zwei Unbekannte B11 und B21 - zwei Gleichungen, umstellen und nach B11 bzw. B21 kopieren...

War das so gemeint?

Wenn das passt können wir uns ja über die Details unterhalten?

 

Comments

Ach, das hab ich falsch aufgebaut, an der 2. Frage isses mir aufgefallen es sind nur 2 Prozesse: P2 und P3

 

Gesamtgehalt:
D30=((B10*D10+B11*D11)+(B10+B11)*(B21*D21))/((B10+B11)*(B20+B21))

mit den Mengen: (B10+B11)*(B20+B21)=E30/E10

Du gibst den Gesamtgehalt vor und brauchst B11 und B21, richtig?

---

Hallo Wächter, Georg Born und Roman Ga

Bedanke mich nochmals für euer Interesse für meine Fragen und ich bitte um Entschuldigung, dass ich so lange auf eine Antwort warten ließ.

Da ihr bei euren Berechnungen das spezifische Gewicht nicht berücksichtigt habt, sind auch die Resultate nicht genau.

Habe meine Excel-Anwendung "ZUCKERLÖSUNG" noch einmal durchgeackert, Gamma von Zucker 1,605 durch 1,58, den Mittelwert verschiedener Saccharosen (1,55-1,605) ersetzt und verschiedene Formeln nicht nur für Excel 2016 sondern auch für Excel 2016 lesbar gemacht. (habe ich auf beide Systeme mit Erfolg getestet). Außerdem habe ich die ganze Anwendung benutzerfreundlicher gestaltet und die Berechnung über Benutzerformular (UserForm) möglich gemacht.

Um die Iterationsberechnung schneller und genauer ausführen zu können habe ich den ursprünglichen Schritt von 0,01 auf 6 immer kleiner werdende Schritte aufgeteilt 0,250 - 0,100 - 0,050 - 0,010 - 0,005 - 0,001.

Meine ursprüngliche Frage: "Wenn ich es auch nicht mehr benötige, interessiert es mich trotzdem, wie die genaue mathematische Formel aussehen müsste". möchte ich um den Zusatz erweitern ....oder ob es eine einfachere, direktere Formel als die der Iteration gibt.

Schicke euch zwei Excel-Dateien:

1.) ZUCKERLÖSUNGEN mit den präziser erläuterten Fragen und den von mir errechneten Antworten mit Beispiel 1.1 - 1.2 und Beispiel 2.

Ich hoffe dass diese Datei richtig ankommt und ihr meine Ausführungen überprüfen könnt. ZUCKERLÖSUNGEN.xls (0,1 MB) 

Bin neugierig, was Ihr darüber denkt.

2.) Die verbesserte Datei ZUCKERLÖSUNG mit Makros kann ich auf diesem Weg leider nicht schicken. Ich bekomme die Meldung: Dateityp xlsm ist nicht erlaubt.

Vielleicht findet sich eine andere Möglichkeit.

---

In einem Becken mit einem Fassungsvermögen
von 1200 Liter
sind 600 Liter Zuckerlösung von 15% enthalten. (ganz gewöhnlicher Speisezucker γ = 1,606) 

Bei meiner Beantwortung der Frage kam mir auch
schon der Gedanke ob das spezifische Gewicht
von Zuckerlösungen unterschiedlicher Konzentration
auch berücksichtigt werden müßte. Da aber keine
Angaben dazu gegeben waren habe ich die
einfache Variante berechnet.

Ich werde mich einmal im Internet über die Sach-
verhalte schlau machen ob es Formeln dazu gibt.

---

Nun, ja Du kannst nur die Antwort bekommen nach der Du gefragt hast. Da war kein Hinweis die Dichte und Löslichkeit zu berücksichtigen. 

Wie dem auch sei. Ich denke da gibt es keine geschlossene Lösung. Ich hab das mal mit Alkohol-Wasser-Mischungen gemacht. Grundsätzlich brauchst Du Dichte-Tabellen die für jede %-Lösung die Dichte der Lösung angeben. Ich habe in diesem Fall eine Regression über eine Dichtetabelle erstellt und mit einem Polynom 5. Grades einigermaßen brauchbare Werte erhalten - wie das beim Zucker aussieht - keine Ahnung. Vielleicht geht das einigermaßen linear ab - Genauigkeit R^2?  Wenn Du die hast, dann brauchst Du die Umkehrfunktion, also von Dichte nach %,. Daraus kannst Du dann einen Formelsatz bauen...

Du kannst ja mal bei Likörherstellern nachfragen, die haben die verschärfte Variante Alkohol+Zucker und die müssen den Alkoholgehalt in Vol% angeben.

Iterative Lösungen können in Excel auch formeltechnisch gelöst werden - muss nicht unbedingt ein Makro sein. Iterative Berechnungen erlauben und eine sich selbst verbessernde Formel bauen (Zirkelbezug)... 

---

Hallo wächter,

unter
https://www.winopal.com/laborbedarf/produkte/kalibrierloesungen/zuckerloesungen.html

findest du eine Tabelle.

In eine Skizze eingetragen ergibt sich

Dichte / Konzentration in %.

Eine sehr gute Regressionsfunktion wird sich wohl
finden.

Ich kümmere mich mal weiter darum.

---

Sieht eher wie ein leichter Pissbogen aus ;-)..

Vielleicht kannst Du da http://www.gibb.ch/Berufsmaturitaet/Faecher/Documents/Chemie/Versuchsvorschriften/ZuckerLiteratur.xls weiter machen?

y = 0,0051x + 0,983

R² = 0,9949 ist doch gut?

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Der Link führte  zu einer excel-Datei.
Ich habe kein Excel.

Meine erste Berechnung ergab
400 Liter zu 27.14 %

Meine Rechenweise kommt nachher.

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Ja, das kommt ungefähr hin - je nach den Regressionsdaten - ich hab 3 gültige Stellen, das gibt den Fehler von 0,700 L auf 1000 L...

Es bleibt also bei einer Näherungslösung....

---

Ich habe zunächst die Parabelfunktion 
probeweise mit nur 3 Stützstellen berechnet.
Ohne Regression.
mfg Georg

---

Wenn man den Pissbogen quadratisch angleicht, dann gehts auch auf - wenn jetzt noch die Dichte einigermaßen zu den Gegebenheiten passt, dann hätte fertig?

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1tgfXX7d3cJzumEgpPfb6avtpAKxrxmSJvDcvj5kWcIU/edit?usp=sharing

noch ein Versuch

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Hallo Wächter, Georg und Roman,

sende euch pdf-Dateien mit der Wiederholung und besserer Präzisierung meiner Fragen und mit den Resultaten meiner Berechnungen.

Außerdem eine Datei mit einer Liste mit den spezifischen Gewichten der Zuckerlösungen von 1, 2, 3,............66,386 g/cm³ mit einer von mir gemachten Excel-Tabelle berechnet (die verwendeten, selbst erstellten Formeln sind angeführt) und dabei ein Diagramm mit der Sättigungskurve der Zuckerlösungen. Dabei sind auch Tabellen aus dem Internet die ich als Vergleich nahm und damit auch die Differenzwerte, die im Bereich von 1/1000 % liegen, anführe. 

Mit den in Euren Kommentaren angeführten Rechenbeispielen werde ich mich weiterhin beschäftigen und Ich danke Euch dafür. (n.b. wie vergibt man Daumen hoch und Sterne?)

ZUCKERLÖSUNGEN-1_ Fragen.pdf (0,4 MB) ZUCKERLÖSUNGEN-2_Antwort_1.1.pdf (0,2 MB) ZUCKERLÖSUNGEN-3_Antwort_1.2.pdf (0,2 MB) ZUCKERLÖSUNGEN-4_Antwort_2.pdf (0,2 MB) ZUCKERLÖSUNGEN-5_Prozentsatz_Gamma.pdf (0,4 MB)

mfg Günther

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Danke, ich seh schon, wir liegen bei beiden Beispielen nur ein paar 100g auseinander - da müsst ich Deine Dichtetabellen verwenden. Meine Tabelle funktioniert über die Eingaben:

Ist Vol: 950 , Ist Konz: 15%
Ziel Vol: 1000 , Soll Konz: 20%
Zugabe Konz: 50%

Berechnung:
Zugabe Konz ohne Abzug aus P2
Abzug aus P2 bei Zugabe Konz 50%
Zugabe Lösung Vol und Gew

Die Dichte der Zuckerlösung berechne ich mittels Polynomregression nach der Tabelle http://www.internetchemie.info/chemie-lexikon/daten/s/saccharose-dichtetabelle.php

---

Ich hab etwas gebraucht, bis ich gemerkt habe, dass Deine PDFs noch eine Seite 2 haben und da bin ich auf einen Widerspruch gestoßen.

Beispiel 1.1 Deine Lösung

0 Liter Lösung zu 15 % wegnehmen 307 Liter Wasser dazugeben
93   Liter Konzentrat zu 60 % dazugeben

ist falsch. Meine Tabellen-Lösung, die Deine Lösungen in den Beispielen 1.2 und 2. bestätigt, berechnet eine Wasserzugabe von 244,4 L bei Zugabe von 156,6 L 60% iger Lösung um auf die 216 kg Zucker zu kommen:

Deinen Wert 307 L Zugabe (Wasser - nicht gut) und 93 L 60% iger Lösung erhalte ich bei der Zugabe von 307 L 15% iger Lösung anstelle von Wasser:

Damit fehlt in Deiner Rechnung nach meiner Rechnung ein Sack Zucker ~49 kg?

Wir können uns gern mal über die Konstruktion dieser Tabelle unterhalten. Wie ich schon sagte geht es mathematisch um die Lösung 2er Gleichungen mit zwei Variablen - die Berechnung von M2 und M3 in obiger Tabelle. Aber das stand ja auch schon am Anfang meines Antwortfadens...

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