Betragsungleichung |x+1|•(x-1)≤3 einfachster Weg?

Question

von wie vielen Wegen kann die folgende Bedienung gelöst werden

|x+1|•(x-1)≤3

Answer 1

Hallo Emily,

|x+1|•(x-1)≤3

Der einfachste Weg dürfte wohl eine Fallunterscheidung sein.

Hierbei geht es um das Vorzeichen des Terms  x+1  im Betrag:

1. Fall:  x+1 ≥ 0, also x ≥ -1 

dann können die Betragstriche wegfallen:

(x+1) • (x-1) ≤ 3

x² - 1 ≤ 3    | + 1 

x² ≤ 4    | √

|x| < ≤ 2

-2 ≤ x ≤ 2     ( + Fallbedingung! ) 

    L₁  =  [ -1 ; 2 ]

2. Fall:   x+1 < 0 , also  x < -1 

Die Betragstriche werden durch ein Minuszeichen vor dem Term ersetzt:

- (x+1) • (x-1) ≤ 3   | * (-1)

(x+1) • (x-1)  ≥  -3

x² - 1 ≥  -3    +1

x² ≥ -2   allgemeingültig    ( + Fallbedingung! )

 L₂  =  ] - ∞ ; -1 [

L  =  L₁ ∪ L₂  =  ] - ∞ ; 2 ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

Allgemein
Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.
Für über oder unter null ( positiv oder negativ )
bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

| x + 1 | • ( x - 1 ) ≤ 3

1.Fall x + 1 ≥ 0
x ≥ -1

Es gilt
( x + 1 ) * ( x -1 ) ≤ 3
x^2 -1 ≤ 3
x^2 ≤ 4
- 2 ≤ x ≤ 2

Mit der Eingangsvoraussetzung
( x ≥ -1 ) und   ( - 2 ≤ x ≤ 2 ) ergibt sich
- 1 ≤ x ≤ 2

2.Fall x + 1 < 0
x < -1

[ ( x + 1 ) * (-1 ) ]  * ( x -1 )  ≤ 3
( x^2 -1 )* (-1)  ≤ 3
- x^2 + 1 ≤  3 
x^2 -1 ≥ -3
x^2 ≥ -2
x = ℝ
Stimmt immer

Mit der Eingangsvoraussetzung
( x < -1 ) und  x = ℝ ist
x < -1

Fall 1 und Fall 2
( - 1 ≤ x ≤ 2 ) und ( x < -1 )
] - ∞ .. 2 ]