Sollte die Funktion durch den Punkt \((2;4)\) gehen, dann ist \(a=3\), wie Roland schon ausgeführt hat. In diesem Punkt hat die Funktion aber keine waagerechte Tangente. Die Steigung bestimmt man, indem man die Funktion ableitetet.
Georg schrieb: "Man müßte die Gleichung als y ( x ) = ... schreiben."
Muss man nicht - einfach nach \(x\) ableiten gibt:
$$3x^2 + 3y^2\cdot y' = 3a(y + x\cdot y')$$
Umstellen nach \(y'\) und man erhält:
$$y'=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$$
Eine horizontale Tangente - d.h. \(y'=0\) - liegt an der Position:
$$ay - x^2=0 \quad \Rightarrow x=\sqrt{ay}$$
Lautet die Aufgabe also "Für welches a hat der Graph der Funktion eine horizontale Tangente, die durch den Punkt P (4;2) geht? " dann muss hier nur \(y=4\) sein. Zusätzlich muss das Paar \((x;y)\) natürlich ein Punkt der Funktion sein. Demzufolge ist nach Einsetzen von \(x=\sqrt{ay}\) in die ursprüngliche Funktion
$$ay\sqrt{ay} + y^3 = 3a\sqrt{ay} \cdot y$$
Auflösen nach \(a\sqrt{a}\) und Einsetzen von \(y=4\) gibt
$$a\sqrt{a} = a^{\frac32}=4 \quad \Rightarrow a = 4^{\frac23} \approx 2,52$$
