Verhalten an Definitonslücken y= 2x^2-9x+9/(x-1)^2 Definitionslücke =1

Question

2x^2-9x+9/(x-1)^2  Definitionslücke =1

Muss ich jetzt 0,9 und 1,1 in den Nenner setzen und / oder auch in den Zähler ? oder wie bestimme ich das Verhalten an den Definitionslücken?

Answer 1

( 2x^2 - 9x + 9 ) / (x-1)^2
x = 1 => Nenner = 0

x einsetzen
( 2*1^2 - 9*1 + 9 ) / (1-1)^2  = 2 / 0

Division durch 0. Der Funktionswert ist nicht definiert
und geht gegen ∞. Die Stelle ist eine Polstelle.

Ungenauer Nachweis :
f ( 1.1 ) ist positiv
f ( 0.9 ) ist postiv
Links und rechts positiv
lim x −> 1 = + ∞

Den genauen Nachweis könnte ich auch
noch vorführen.

Answer 2

Hi,

prinzipiell kannst Du die h-Methode verwenden.

Also x = 1±h, mit h->0 untersuchen. Wird dann ein wenig längers.

Alternativ (nicht ganz so sauber) sieht man auch, dass das Streben an beiden Seiten gleich ist, da der Nenner einen doppelte Nullstelle besitzt. Mit einer Skizze oder einsetzen, wie Du es vorschlägst, erkennt man schnell, dass für x->1 für beide Seiten f(x) -> ∞ vorliegt.

Grüße

Comments

Danke also könnte ich die Funktion als ganzes nehmen und für x z.B 1,1 einsetzen was dann ergäbe = 152 d.h f(x)1⁺ ---> +∞

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Es kommt drauf an, für was Du das machst. Als Schulaufgabe ist das wahrscheinlich nicht ausreichend, da zwischen 1 und 1,1 bspw eine weitere Polstelle liegen könnte etc.

Die h-Methode ist bekannt? Dann würde man diese wahrscheinlich anwenden ;).

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Alternativ (nicht ganz so sauber) sieht man

Was soll daran nicht sauber sein? Der Nenner (x-1)^2 hat mit x=1 eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und der Zähler ist in der Nähe der Eins positiv, daher ist x=1 eine \((+/+)\)-Polstelle.

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und der Zähler ist in der Nähe der Eins positiv

Wie ich schon erwähnte...zwischen 1 und 1,1 kann sehr viel passieren. Deshalb ist es nicht sauber einfach in den TR 1,1 einzusetzen und daraus Schlussfolgerungen zu ziehen.

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Das habe ich so auch nicht gesagt. Mit der Formulierung "in der Nähe der 1" ist eine vollständige "Umgebung um 1" gemeint, die bei Bedarf hinreichend klein sein kann.

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Deswegen bei mir der Verweis, dass das Einsetzen (wie bei ihm) von 1,1 eventuell nicht genau genug ist und deshalb nicht sauber ist... ;)

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Ok, das ist natürlich richtig. Eine genauere Argumentation könnte diesem Mangel aber abhelfen. Das wollte ich eigentlich zum Ausdruck bringen.