Parable die die Gerade G und durch die Punkte P und Q geht

Question

Ich hätte noch eine Frage zu dieser Aufgabe:

Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Parabel, die die Gerade g berührt und durch die Punkte P und Q geht.

g: y=20x+24         P(-5/-4)             Q(7.5/258.5)

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Das ist etwas aufwendiger. Hier aber zunächst eine Kontroll-Lösung

~plot~ 20x+24;2x^2+16x+26;2/625x^2+2624/125x+2522/25 ~plot~

Answer 1

Nenne den Berührpunkt (u|f(u)). Ansatz f(x)=ax²+bx+c. Dann wird a, b und c in Abhängigkeit von u bestimmt durch die Forderungen f(-5)=-4; f(7,5)=258,5 und f(u)=20. Außerdem gilt 20u+24=au²+bu+c. Das ergibt vier Gleichungen mit den Unbekannten a, b, c und u.

Comments

Es muss f'(u)=20 heißen, oder?

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Das ist völlig richtig.

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Guten Tag Miteinander

Entschuldigen Sie meine Dummheit. Könnten Sie mir eventuell einen Rechnungsweg geben? Ich komme nicht so ganz draus mit Ihrer Erklärung. D.h. ich verstehe nicht ganz wie ich auf die 4 Gleichungen kommen sollte.

Answer 2

Allgemeiner Ansatz

f(x) = a·x^2 + b·x + c

f'(x) = 2·a·x + b

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Die Bedingungen und die Gleichungen

f(-5) = -4 --> 25·a - 5·b + c = -4

f(7.5) = 258.5 --> 56.25·a + 7.5·b + c = 258.5 --> 225·a + 30·b + 4·c = 1034

f(d) = 20·d + 24 --> a·d^2 + b·d + c = 20·d + 24

f'(d) = 20 --> 2·a·d + b = 20

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Löse das Lineare Gleichungssystem aus den ersten beiden Gleichungen in Abhängigkeit von a.

b = 21 - 2.5·a ∧ c = 101 - 37.5·a

Wir ersetzen b und c in der III und IV Gleichung und erhalten

a·(d^2 - 2.5·d - 37.5) + d + 77 = 0

2·a·d - 2.5·a + 1 = 0

Löse die II Gleichung nach d auf und setze es in die I ein und löse dann nach d auf.

2/(5 - 4·d)·(d^2 - 2.5·d - 37.5) + d + 77 = 0 --> d = -155 ∨ d = 1

Nachdem man jetzt d hat kann man auch alle anderen Unbekannten ausrechnen.

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Mathecoach

Vielen Dank für Ihre ausführliche Antwort. Ich hätte noch eine Fragen zu ihrer Lösung.

Was ist das für eine Funktion?

f'(x) = 2·a·x + b

MfG

emirates

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Die Ableitung. Hattest du die noch nicht ? Dann könnte man auch anders vorgehen.

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Mathecoach

Nein, die hatte ich noch nicht. Wie könnte man sonst noch vorgehen?

MfG

emirates

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Ich hatte schon geahnt, dass du das mit der Ableitung noch nicht hattest. Daher hatte ich zuerst auch nur eine Lösung gepostet und noch keinen Weg.

Also vergiss die letzten Gleichungen und stelle nur die ersten auf. Löse das Gleichungssystem bis

b = 21 - 2.5·a ∧ c = 101 - 37.5·a

Stelle damit jetzt die Parabel auf.

f(x) = a·x^2 + (21 - 2.5·a)·x + (101 - 37.5·a)

Setzte diese Gleichung und die Geradengleichung gleich um einen Schnittpunkt bzw. Berührpunkt zu bestimmen

a·x^2 + (21 - 2.5·a)·x + (101 - 37.5·a) = 20·x + 24

a·x^2 + (1 - 2.5·a)·x + (77 - 37.5·a) = 0

Nun gibt es nur eine Doppelte Lösung, wenn die Diskriminante Null ist

b^2 - 4·a·c = 0

(1 - 2.5·a)^2 - 4·a·(77 - 37.5·a) = 0 --> a = 2/625 ∨ a = 2

Benutze b = 21 - 2.5·a ∧ c = 101 - 37.5·a um dann auch noch b und c zu bestimmen. 

Voila.