Parabel f(x)=x^2+4,5x+1,5 und Punkt P(-2/-19,5). Suche die Tangenten an Parabel, die durch P gehen. Berührpunkt?

Question

Hallo
Gegeben ist die Parabel  f(x)=x²+4,5x+1,5
Frage: Wie viele Tangenten können von dem Punkt P (-2/-19,5) an das Schaubilder der Parabel angelegt werden ? Berechne die zugehörigen Tangentengleichungen und Bestimme die Berührpunkte.




Mein ansatz ist jetzt das der punkt nicht einmal auf der parabel liegt :/

Answer 1

Eine Gerade durch den Punkt P lautet

g(x) = m·(x + 2) - 19.5

Schnittpunkt ist Berührpunkt

f(x) = g(x)
x^2 + 4.5·x + 1.5 = m·(x + 2) - 19.5
x = m/2 - 9/4 ± √(4·m^2 - 4·m - 255)/4

Damit es nur eine Lösung gibt muss der Term unter der Wurzel Null werden.

4·m^2 - 4·m - 255 = 0
m = 8.5 ∨ m = -7.5

Damit sind die Berührstellen

x1 = 8.5/2 - 9/4 = 2
x2 = -7.5/2 - 9/4 = -6

f(2) = 14.5
f(-6) = 10.5

Skizze

Answer 2

Gegeben ist die Parabel \( f(x)=x^2+4,5x+1,5\)
Frage: Wie viele Tangenten können von dem Punkt P (-2|-19,5) an das Schaubilder der Parabel angelegt werden ? Berechne die zugehörigen Tangentengleichungen und bestimme die Berührpunkte.

Die Berührpunkte haben die Koordinaten B\((x|x^2+4,5x+1,5)\)

2 Punkteform der Geraden:

\( \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=f'(x) \)

\( \frac{x^2+4,5x+1,5+19,5}{x+2}=2x+4,5 \)

\( x^2+4,5x+21=(2x+4,5)(x+2 )=2x^2+8,5x+9\)

\( x^2+4x=12\)

\( (x+2)^2=12+4=16|±\sqrt{~~}\)

1.)

\( x+2=4\)

\( x_1=2\)        \( f(2)=14,5\)

Tangentengleichung:

Punkt-Steigungsform einer Geraden:

\( \frac{y-y_1}{x-x_1}=f'(x) \)

\( \frac{y-14,5}{x-2}=2\cdot 2+4,5 =8,5\)

\( y=8,5(x-2)+14,5=8,5x-2,5\)

2.)

\( x+2=-4\)

\( x_2=-6\)       \( f(-6)=36+27+1,5=64,5\)

Tangenten analog 1.)