Aus der darstellenden Matrix bestimmen ob es eine Basis gibt

Question

Ich schreibe nächste Woche eine Klausur und stehe gerade bei der folgenden Frage ein bisschen auf dem Schlauch.

Seien A und B Matrizen gegeben durch

 A=(1 0    und B=(-1 2

      1 -1)              1  -1)

Es gibt eine R- lineare Abbildung f: ℝ²→ℝ², sowei Basen B1, B2, B3, B4 sodass A die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B1 und B2 und B die darstellende Matrix bezüglich der Basen B3 und B4 ist.

Ist diese Aussage nun wahr oder falsch und kann mir das jemand begründen?

Answer 1

Waehle für \(\mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2, \mathcal{B}_3\) die Standardbasis. Unter dieser Wahl ist die Aussage genau dann wahr, wenn es eine invertierbare Matrix \(C\) mit \(A=CB\) gibt. (Warum?)

Jetzt einfach \(C\) ausrechnen und dann \(\mathcal{B}_4\) passend angeben.

Comments

Warum muss ich schauen, dass A=CB gilt?

Ich habe jetzt noch eine andere Idee, weiß aber nicht ob sie stimmt:

Also ich habe zuerst bezüglich der Matrix A ausgerechnet f(1,0)=(1,1) und f(0,1)=(0,-1)

Dann habe ich bezüglich der Matrix B ausgerechnet: f(1,0)=((-a+c), (-b+d)) und f(0,1)=((2a-c),(2b+d)). Für die Basis B4 bin ich allgemein von den Vektoren v1=(a,b) und v2=(c,d)

ausgegangen. Nun muss doch gelten f(1,0)=(1,1)=((-a+c), (-b+d)) und f(0,1)=(0,-1)=((2a-c),(2b+d)). Kann ich das jetzt nicht einfach auflösen und schauen ob das passt?

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Der gewuenschte Sachverhalt laesst sich formelmaessig ausdruecken: $$K_{\mathcal{B}_2}^{-1}(AK_{\mathcal{B}_1}(v))=f(v)=K_{\mathcal{B}_4}^{-1}(BK_{\mathcal{B}_3}(v)).$$ Mit der vorgeschlagenen Wahl wird daraus $$Av=f(v)=K_{\mathcal{B}_4}^{-1}(Bv)=CBv,$$ also $$A=CB.$$ Bestimme \(C\) und daraus \(\mathcal{B}_4\).